"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величины помогают описывать свойства предметов и явлений числами: длину, массу, время и другие характеристики можно измерить и сравнить. Для этого выбирают единицу измерения — например, метр или минуту — и определяют, сколько таких единиц содержится в величине. Поэтому результат всегда записывают числом вместе с единицей. Числовое значение зависит от выбора единицы, а сравнивать напрямую можно только величины одного рода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения — выбранная величина того же рода, с которой сравнивают измеряемую величину. Например, длину измеряют в миллиметрах, сантиметрах, метрах или километрах, массу — в граммах, килограммах или тоннах, а время — в секундах, минутах или часах. Единица нужна, чтобы выражать величину определённой мерой и сопоставлять результаты измерений.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в величине. Например, в длине 12 см числовое значение при выбранном сантиметре равно 12. Оно зависит от единицы: ту же длину можно записать как 120 мм, поэтому без указания единицы число не определяет величину.
Измерение величины — определение её числового значения в выбранных единицах. При измерении выясняют, сколько раз выбранная единица укладывается в измеряемой величине. Результат записывают числом и единицей, например 7 см, чтобы запись сообщала и количество, и меру.
Однородные величины — величины одного рода, например две длины или две массы. Их можно сравнивать и выражать в одинаковых единицах: километры переводить в метры, а граммы — в килограммы. Это понятие помогает понять, какие величины допустимо сопоставлять или складывать.
Величины измеряют, чтобы сравнивать предметы и явления не только на глаз, но и количественно. На глаз можно решить, что один отрезок кажется длиннее другого, однако небольшую разницу заметить трудно. Измерение заменяет такое предположение точными результатами, которые можно проверить и использовать в вычислениях. Поэтому оно нужно и в обычных ситуациях, и в математических задачах.
Чтобы получить числовое значение, сначала выбирают единицу, подходящую для измеряемой величины. Затем эту единицу мысленно или практически откладывают в величине и считают, сколько раз она в ней содержится. Например, линейку прикладывают к отрезку и смотрят, какой отметке соответствует его конец. Если единица не укладывается целое число раз, результат можно выразить более мелкой единицей или её долями.
Одного числа недостаточно, потому что оно показывает только количество выбранных единиц, но не сообщает, что именно считали. Записи 5 м и 5 см содержат одинаковое число, однако первая длина в сто раз больше второй. Единица уточняет смысл числа и позволяет понять величину. Поэтому в ответе после измерения нельзя опускать обозначение единицы.
При переходе к другой единице числовое значение может измениться, хотя сама величина остаётся прежней. Если единица меньше, таких единиц помещается в величине больше: один метр составляют 100 сантиметров. Значит, 1 м = 100 см, а неравенство размеров единиц объясняет различие чисел 1 и 100. При переводе важно менять только запись величины, а не её реальную длину, массу или длительность.
Сравнивать однородные величины удобнее после приведения к одной единице. Сначала переводят одну или обе величины, затем сравнивают получившиеся числовые значения. Например, 3 м и 40 см можно сопоставить как 300 см и 40 см. После сравнения ответ формулируют о самих величинах: 3 м больше 40 см, а не просто 300 больше 40.
| Величина | Что характеризует | Примеры единиц | Пример измерительного прибора |
|---|---|---|---|
| Длина | Протяжённость предмета или расстояние | Миллиметр, сантиметр, метр, километр | Линейка или рулетка |
| Площадь | Размер поверхности | Квадратный сантиметр, квадратный метр | Линейка для вычисления по размерам |
| Объём | Пространство, занимаемое телом | Кубический сантиметр, кубический метр, литр | Мерный сосуд |
| Масса | Мера инертности тела | Грамм, килограмм, тонна | Весы |
| Время | Длительность события | Секунда, минута, час | Часы или секундомер |
В таблице указаны примеры единиц и приборов, которыми измеряют или определяют величины. Выбирай единицу, подходящую по масштабу: небольшую длину удобно задавать в сантиметрах, а расстояние между городами — в километрах. Для площади линейка помогает измерить стороны фигуры, после чего площадь вычисляют.
Условие. Запишите длину отрезка, если при измерении линейкой она составила 7 сантиметров. Известно и число, и единица измерения. Нужно оформить результат так, чтобы запись однозначно показывала измеренную длину.
Ответ: 7 см.
Условие. Выразите 3 метра в сантиметрах и сравните полученную длину с 280 сантиметрами. Обе величины обозначают длину, значит, их можно сравнить. Для этого удобно оставить обе записи в сантиметрах.
Ответ: 3 м = 300 см, и эта длина больше 280 см на 20 см.
Условие. Два участка имеют длины 1 километр 250 метров и 1240 метров. Нужно определить, какой участок длиннее и на сколько. Поскольку сравниваются длины, их можно выразить в одной единице.
Ответ: первый участок длиннее на 10 м.
Сравнивать только числа, не учитывая единицы. Так ошибочно заключают, что 3 м меньше 40 см, потому что 3 < 40. Это происходит, когда число принимают за саму величину и забывают о размере единицы. Проверь себя: переведи обе длины в сантиметры — получатся 300 см и 40 см, значит, 3 м больше.
Считать, что числовое значение не меняется при смене единицы. Записи 1 м и 100 см показывают одну длину, но числа 1 и 100 различаются. Ошибка появляется, если забыть, что сантиметр меньше метра. Проверка проста: используй соотношение единиц и убедись, что обе записи описывают одинаковую длину.
Записывать результат измерения без единицы. Число 7 не сообщает, получили ли 7 сантиметров, метров или другую величину. Обычно единицу пропускают при сокращённой записи или спешке. Перечитай ответ и спроси себя, понятно ли по нему, что измеряли и в каких единицах; если нет, добавь обозначение.
Складывать или сравнивать неоднородные величины. Например, длина и масса относятся к разным родам, поэтому нельзя сравнить 3 м и 4 кг как числа. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на числовых значениях. Перед вычислением назови вид каждой величины: если это не один род, сравнение или сложение не имеет смысла.
Для работы с величинами нужно уметь считать, сравнивать натуральные и десятичные числа и выполнять действия с ними. Геометрические объекты — отрезки, фигуры и тела — дают примеры того, что можно измерять: длину, площадь и объём. Перевод единиц и измерение понадобятся при изучении геометрии, формул площади и объёма. Они также помогают решать практические задачи, где приходится сопоставлять реальные расстояния, массы или промежутки времени.
Почему нельзя записать результат измерения одним числом?
Число без единицы не показывает, какую величину измерили и какова мера. Например, запись 5 может означать 5 метров или 5 сантиметров — это разные длины. Поэтому результат записывают числом и единицей измерения.
Почему при переходе от метров к сантиметрам числовое значение увеличивается?
Сантиметр меньше метра в 100 раз, поэтому в той же длине помещается больше сантиметров, чем метров. Например, 1 метр — это 100 сантиметров. Сама длина при переводе не меняется.
Можно ли сравнивать величины, записанные в разных единицах?
Можно, если это однородные величины, например две длины. Сначала переведи их в одну единицу измерения, а затем сравни числа. Так, 3 м = 300 см, поэтому 3 м больше 40 см.
Чем единица измерения отличается от числового значения?
Единица измерения — это выбранная мера, с которой сравнивают величину, например сантиметр. Числовое значение показывает, сколько таких единиц содержится в величине. Для одной длины при смене единицы число может измениться.
Какие величины называют однородными?
Однородные величины относятся к одному роду: например, две длины или две массы. Их можно выражать в одинаковых единицах и сравнивать. Длину и массу однородными не называют.
Величины
