Арифметические действия

Определения и обозначения

Арифметическое действие — правило, по которому из одного или нескольких данных чисел получают новое число. Например, действие может объединить количества или показать, сколько останется после удаления части. Такие правила нужны, чтобы записывать вычисления и решать задачи с числами.

Сложение объединяет числа или прибавляет одно число к другому; его обозначают знаком «+». Числа, которые складывают, называются слагаемыми, а результат — суммой: в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, 12 — сумма. Эти названия помогают понять, какое число неизвестно в примере.

Вычитание позволяет убрать часть количества или сравнить числа; его обозначают знаком «−». В записи 15 − 6 = 9 число 15 называют уменьшаемым, число 6 — вычитаемым, а результат 9 — разностью. Названия показывают, какое число уменьшают и какую часть вычитают.

Умножение обозначают знаком «·» или «×»: оно заменяет сложение одинаковых слагаемых. Числа, которые умножают, — множители, результат — произведение. Деление обозначают знаком «:» или «÷»: делимое делят на делитель и получают частное. Эти термины помогают различать части записи и находить неизвестный компонент.

Как это устроено

Сложение удобно, когда количества объединяют: если в одной коробке 4 карандаша, а в другой 3, вместе их 4 + 3 = 7. Вычитание отвечает на два близких вопроса: сколько осталось после того, как часть убрали, и на сколько одно число больше другого. Например, 9 − 4 = 5 означает и «из девяти убрали четыре, осталось пять», и «девять больше четырёх на пять». Поэтому смысл действия выбирают по тому, что требуется найти.

Умножение связано с повторением одинаковых групп: 6 рядов по 8 предметов можно посчитать как 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8, или короче — 6 · 8. Число групп и количество предметов в каждой группе становятся множителями, а произведение показывает общее количество. Деление решает обратную задачу: общее количество распределяют поровну между группами или выясняют, сколько предметов будет в каждой равной части. Например, 48 предметов можно разделить между 6 группами, получив по 8 в каждой.

Компоненты действий позволяют находить неизвестное по известным числам. Если неизвестно слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое; если неизвестно уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое. Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель, а неизвестное делимое — умножением частного на делитель. Эти правила работают потому, что вычитание отменяет сложение, а деление — умножение.

Деление связано с умножением: если 48 : 6 = 8, то 8 · 6 = 48. Проверка показывает, что найденное частное вместе с делителем восстанавливает делимое. На ноль делить нельзя: невозможно подобрать единственное число, которое при умножении на ноль даст делимое. Если делимое не равно нулю, такого числа вообще нет, а если оно равно нулю, подходят любые числа.

Порядок действий нужен, чтобы у одного выражения был один и тот же результат. Сначала выполняют действия в скобках: они выделяют часть выражения, которую нужно посчитать отдельно. Затем выполняют умножение и деление, потому что эти действия имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Действия одного приоритета выполняют слева направо, поэтому среди сложения и вычитания или среди умножения и деления порядок записи важен.

Четыре арифметических действия

Пользуйтесь таблицей, чтобы правильно назвать числа в записи и результат действия. Колонка о связи помогает выбрать обратное действие для проверки вычисления или поиска неизвестного компонента. Помните, что при делении делитель не может быть равен нулю.

Разбор задач

Задача: вычислите 27 + 35 и назовите компоненты действия и результат. Нужно сложить два числа, поэтому 27 и 35 будут слагаемыми, а полученное число — суммой. Для удобства разложим 35 на 30 и 5, затем прибавим части по очереди.

1. 27 + 30 = 57.
2. 57 + 5 = 62.
3. Проверяем: 62 − 35 = 27, значит, сложение выполнено верно.

Ответ: 27 и 35 — слагаемые, 62 — сумма.

Задача: в коробках лежат 6 рядов по 8 карандашей. Сколько карандашей лежит в коробках? В каждом ряду одинаковое число карандашей, поэтому можно сложить шесть одинаковых восьмёрок. Умножение записывает этот подсчёт короче: первый множитель указывает число рядов, второй — карандаши в каждом ряду.

1. Записываем число равных групп и количество в каждой: 6 · 8.
2. Вычисляем произведение: 6 · 8 = 48.
3. Проверяем смысл результата: 48 карандашей можно распределить на 6 рядов по 8 в каждом.

Ответ: 48 карандашей.

Задача: вычислите 48 : 6 + 3 · (10 − 7) и объясните порядок действий. Скобки выделяют вычитание, а умножение и деление выполняются раньше сложения. Поэтому нельзя начинать с 48 : 6 + 3: сначала вычислим значение скобок, после чего выполним действия одинакового приоритета слева направо.

1. Вычисляем в скобках: 10 − 7 = 3. Получаем 48 : 6 + 3 · 3.
2. Выполняем деление и умножение: 48 : 6 = 8, затем 3 · 3 = 9.
3. Складываем результаты: 8 + 9 = 17.

Ответ: 17.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вычитание переместительным, то есть ожидать, что перестановка чисел не изменит результат. Так иногда рассуждают по аналогии со сложением, которое можно выполнять в любом порядке. Но 9 − 4 = 5, а 4 − 9 не равно 5. Проверяйте себя обратным действием: к разности прибавьте вычитаемое и убедитесь, что получили уменьшаемое.

Ошибка — заменять умножение сложением разных чисел, например считать, что 3 · 5 можно записать как 3 + 5. Такая путаница возникает, если забыть, что умножение заменяет сложение именно одинаковых слагаемых. Здесь 3 · 5 означает 3 + 3 + 3 + 3 + 3, а не 3 + 5. Для проверки представьте равные группы и пересчитайте предметы.

Ошибка — считать деление на ноль возможным или записывать 0 : 0 как ответ на любой пример такого вида. Деление ищет число, которое при умножении на делитель даст делимое, а при делителе 0 единственного подходящего результата нет. Проверить рассуждение можно попыткой умножить предполагаемое частное на 0. Поэтому выражение с делением на ноль не имеет определённого значения.

Ошибка — выполнять сложение раньше умножения в выражении без скобок. Часто это происходит, когда считают строго слева направо и не учитывают приоритет действий. Например, в 4 + 2 · 3 сначала вычисляют 2 · 3, затем прибавляют 4, получая 10. Перед вычислением отметьте скобки, умножение и деление, а действия одинакового приоритета выполняйте слева направо.

Связь с другими темами

Для работы с арифметическими действиями нужно уметь читать и записывать натуральные числа. Также важно понимать, что такое равные группы и равное распределение: это помогает увидеть смысл умножения и деления в задаче. Без этих представлений трудно выбрать действие по условию.

Арифметические действия применяются при вычислении числовых выражений и решении текстовых задач. Они понадобятся и при изучении дробей, где нужно выполнять действия с частями целого. Умение следить за порядком вычислений помогает избежать ошибок в длинных выражениях.

Связь обратных действий полезна для проверки вычислений и решения уравнений. Если результат сложения неизвестен, его находят сложением, а неизвестное слагаемое — вычитанием. Аналогично деление помогает восстановить неизвестный множитель, а умножение — неизвестное делимое.

Что запомнить

• Сложение объединяет числа, а вычитание находит разность между ними.
• Умножение равных слагаемых можно заменить сложением.
• Деление связано с умножением как обратное действие.
• На ноль делить нельзя.
• Сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одинакового приоритета выполняют слева направо.