Арифметические действия

Определения и обозначения

Сложение — действие, которое объединяет два числа; результат называют суммой, а числа — слагаемыми. Например, в записи 7 + 2 числа 7 и 2 показывают, какие количества объединяют. Сложение помогает найти общее количество предметов или величин.

Вычитание — действие, которое позволяет узнать, на сколько одно число больше другого или сколько останется после удаления части; результат называют разностью. В записи 9 − 4 число 9 — уменьшаемое, а 4 — вычитаемое. Вычитание нужно, чтобы сравнивать количества и находить остаток.

Умножение — действие, заменяющее сложение нескольких одинаковых слагаемых; результат называют произведением. Например, 3 · 5 — это сумма трёх одинаковых слагаемых, равных 5. Умножение удобно, когда одно и то же количество повторяется несколько раз.

Деление — действие, которое позволяет разделить число на равные части или узнать, сколько раз одно число содержится в другом; результат называют частным. В записи 12 : 3 число 12 делят на части по 3 или распределяют на 3 равные части. Деление помогает находить размер каждой части или количество групп.

Как это устроено

Сложение записывают знаком +, а вычитание — знаком −: например, 8 + 5 и 13 − 5. Знаки позволяют коротко показать, какое действие нужно выполнить, а названия чисел помогают понять их роль. Вычитание связано со сложением, потому что ищет число, которое вместе с вычитаемым даст уменьшаемое. Поэтому результат вычитания проверяют обратным действием: разность складывают с вычитаемым.

Если складывать несколько одинаковых слагаемых, можно заменить длинную запись умножением: 4 + 4 + 4 = 3 · 4. Так легче считать повторяющиеся группы, а не прибавлять одно и то же число по очереди. Таблица умножения содержит результаты таких повторных сложений для небольших чисел. Знание таблицы позволяет быстрее вычислять произведения и затем использовать их при делении.

Деление связано с умножением, потому что найти частное — значит выяснить, какое число при умножении на делитель даст делимое. Например, если 18 : 3 = 6, то проверка показывает: 6 · 3 = 18. Умножение удобно использовать для проверки, потому что оно отменяет действие деления и возвращает исходное число. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении частного.

Делитель не может быть равен нулю: нельзя разделить количество на ноль равных частей так, чтобы получить определённый результат. Кроме того, проверка деления умножением не даёт единственного частного для записи 0 : 0, ведь любое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Если же делимое равно нулю, а делитель — любое ненулевое число, ответ равен нулю: 0 : 5 = 0. Это не противоречит правилу, потому что деление на ноль и деление нуля на число — разные случаи.

Порядок действий нужен, чтобы разные люди одинаково понимали запись выражения. Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание; действия одного порядка идут слева направо. Умножение и деление выполняются раньше, потому что они связывают числа в отдельные группы, которые затем складывают или вычитают. Скобки меняют обычный порядок и указывают, какое действие нужно выполнить первым.

Четыре арифметических действия

По таблице можно быстро определить, как называются числа в записи и как называется результат действия. Последний столбец подсказывает обратное действие, с помощью которого обычно проверяют вычисление. Для деления проверка умножением подходит только при ненулевом делителе.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 27 + 15 и назовите слагаемые и сумму. Здесь нужно сложить два числа, а затем соотнести каждое с ролью в записи действия. Складываем по разрядам: сначала единицы, затем десятки.

1. К 27 прибавляем 15: единицы дают 7 + 5 = 12, то есть 2 единицы и 1 десяток.
2. Складываем десятки с учётом полученного десятка: 2 десятка + 1 десяток + 1 десяток = 4 десятка.
3. Получаем 42; числа 27 и 15 — слагаемые, а 42 — сумма.

Ответ: 27 + 15 = 42; слагаемые — 27 и 15, сумма — 42.

Задача 2. Вычислите 56 − 18 и проверьте ответ обратным действием. При вычитании важно не перепутать уменьшаемое и вычитаемое: из 56 нужно убрать 18. Чтобы удобнее вычесть единицы, представим 56 как 4 десятка и 16 единиц.

1. Вычитаем единицы: 16 − 8 = 8.
2. Вычитаем десятки: 4 − 1 = 3, поэтому разность равна 38.
3. Проверяем сложением: 38 + 18 = 56, значит, разность найдена верно.

Ответ: 56 − 18 = 38.

Задача 3. Вычислите 48 : 6 + 3 · 5 − 4. Скобок нет, поэтому нельзя начинать с первого действия слева: сначала нужно выполнить деление и умножение. После этого останется выражение только со сложением и вычитанием, которые выполняются слева направо.

1. Выполняем деление: 48 : 6 = 8.
2. Выполняем умножение: 3 · 5 = 15. Получаем 8 + 15 − 4.
3. Действуем слева направо: 8 + 15 = 23, затем 23 − 4 = 19.

Ответ: 19.

Типичные ошибки

В вычитании иногда называют числа слагаемыми, потому что это название знакомо по сложению. Но у вычитания свои компоненты: уменьшаемое и вычитаемое, а результат — разность. Чтобы проверить себя, прочитай запись по ролям: из уменьшаемого вычитают вычитаемое.

Некоторые пытаются проверить деление сложением, потому что сложение проверяет вычитание. Но деление связано с умножением: частное умножают на делитель и получают делимое. Проверь себя, восстановив делимое; если произведение не совпало, вычисление неверно.

Деление на ноль путают с делением нуля на число. В записи a : 0 именно делитель равен нулю, поэтому действие не определено; в записи 0 : a при a ≠ 0 результат равен нулю. Перед вычислением проверь, стоит ли ноль на месте делителя.

В выражении без скобок можно по привычке складывать числа слева направо, начиная с первого знака. Тогда умножение может быть выполнено слишком поздно и получится другой результат. Сначала отметь умножение и деление, выполни их, а уже затем переходи к сложению и вычитанию.

Связь с другими темами

Перед изучением арифметических действий нужно знать натуральные числа, уметь читать их запись и считать по порядку. Эти навыки помогают понимать, какие числа участвуют в действии, и выполнять вычисления без пропусков. Если трудно складывать или вычитать числа, полезно сначала повторить разрядный состав.

Арифметические действия используются при решении текстовых задач: по условию нужно понять, что объединяют, сравнивают, повторяют или делят на части. Те же действия понадобятся при работе с дробями и при вычислении значений выражений. Умение соблюдать порядок действий помогает не только получить ответ, но и понятно показать ход вычислений.

Что запомнить

• Сложение объединяет слагаемые, его результат — сумма.
• Вычитание — действие, обратное сложению.
• Умножение одинаковых слагаемых можно заменить сложением.
• Деление связано с умножением и не выполняется на ноль.
• В выражении без скобок умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Скобки указывают, какое действие выполнить первым.