Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек. Она может состоять из одной точки или нескольких частей, расположенных отдельно друг от друга. Такое определение позволяет описывать и простые объекты, и сложные формы одним способом. Например, отрезок тоже является фигурой, потому что состоит из точек.

Точка — основной объект геометрии, который не имеет длины, ширины и других размеров. На чертеже её показывают маленькой отметкой, а рядом обычно ставят заглавную латинскую букву: A, B или C. Буква помогает точно назвать нужное место и не путать его с другими точками. У самой точки размеров нет, даже если отметка на бумаге заметна.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. На рисунке её обозначают прямой чертой с буквами двух лежащих на ней точек, например AB. Нарисованный участок лишь изображает прямую, поскольку бесконечную линию нельзя поместить на лист целиком. Две буквы помогают понять, какую именно прямую имеют в виду.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка; отрезок с концами A и B обозначают AB или BA. В отличие от прямой, он имеет конечную длину, которую можно измерить линейкой. Название сразу сообщает, между какими точками расположен отрезок.

Как это устроено

Фигуры рассматривают как множества точек, потому что так можно точно говорить о том, какие места входят в фигуру. Например, все точки отрезка вместе образуют один объект, а отдельные части могут образовывать фигуру из нескольких частей. Если каждая точка одной фигуры принадлежит другой, говорят, что первая фигура содержится во второй. Это помогает описывать, например, отрезок, лежащий на прямой.

Чтобы задать прямую, достаточно указать две различные точки, лежащие на ней. Через эти точки можно провести линию, и второй отличающейся прямой через обе точки провести нельзя. Если бы такая прямая существовала, она проходила бы через те же две точки, а значит, совпадала бы с первой. Поэтому обозначение AB однозначно указывает прямую через A и B.

На прямой можно выбрать две точки и выделить часть между ними — получится отрезок. Расстояние между выбранными точками и есть длина этого отрезка; её можно измерить, например, линейкой. Если точка B лежит между концами A и C, отрезок AC состоит из частей AB и BC. Поэтому длины частей складываются: AC = AB + BC.

Прямая и отрезок могут выглядеть на чертеже как линии, но устроены по-разному. У прямой нет концов, и она продолжается за края любого нарисованного участка. У отрезка есть ровно два конца, а расстояние между ними конечно. Различие важно для измерений: длину отрезка можно назвать числом, а длины всей прямой не существует.

Обозначения позволяют коротко записывать геометрические утверждения и не описывать каждый раз фигуру словами. Заглавная буква называет точку, а две буквы указывают концы отрезка или точки, через которые проходит прямая. Например, запись AB = 4 см сообщает длину отрезка с концами A и B. По обозначению нужно следить за смыслом: сами буквы называют точки, а запись с двумя буквами может называть фигуру между ними.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала определите, есть ли у фигуры концы и сколько их, затем посмотрите, как она образована. По этим признакам удобно отличать прямую от отрезка и луча. Обозначение проверяйте по буквам: у отрезка называют оба конца, а у луча первая буква указывает его начало.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A и B. Нужно назвать прямую, проходящую через них. Предполагается, что точки A и B различны. Для названия используем обе точки, поскольку они определяют эту прямую.

1. Вспомним: через две различные точки проходит ровно одна прямая.
2. Возьмём обозначения точек, лежащих на искомой прямой: A и B.
3. Назовём прямую по этим точкам — AB; перестановка букв тоже указывает ту же прямую.

Ответ: прямая AB (или BA). Единственность прямой означает, что других прямых, проходящих сразу через A и B, нет. На чертеже будет виден лишь участок этой прямой.

Задача 2

На прямой отмечены точки A, B и C. Нужно перечислить отрезки, концами которых являются эти точки. Чтобы не пропустить ни один, составим пары точек. Порядок букв в названии одного отрезка значения не меняет.

1. Сначала составим пару A и B: ей соответствует отрезок AB.
2. Затем составим пару A и C: получим отрезок AC.
3. Останется пара B и C: ей соответствует отрезок BC.

Ответ: AB, AC и BC. Три точки дают три пары, потому что для каждой пары выбираются две точки из трёх. Повторно записывать, например, BA отдельно не нужно: BA и AB называют один и тот же отрезок.

Задача 3

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Дано: AB = 4 см, BC = 7 см; требуется найти AC. Положение B между A и C означает, что части AB и BC вместе составляют весь отрезок AC.

1. Запишем свойство сложения частей отрезка: AC = AB + BC.
2. Подставим известные длины: AC = 4 см + 7 см.
3. Вычислим сумму: AC = 11 см.

Ответ: AC = 11 см. Сложение здесь подходит, потому что точка B лежит между концами A и C. Если бы точки располагались иначе, прежде чем применять формулу, пришлось бы определить, какой именно отрезок делится на части.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается у края листа. Так думают, потому что на бумаге можно нарисовать только конечный штрих, похожий на отрезок. Проверьте себя: у прямой на схеме нет отмеченных концов, а нарисованное изображение условно продолжается в обе стороны. Если у фигуры действительно заданы два конца, это отрезок.

Ошибка: приписывать прямой конечную длину и измерять её как отрезок. Причина — прямую и её изображение легко принять за одно и то же. Уточните, есть ли у фигуры концы: без них длина не задаётся, а измерить линейкой можно только изображённую часть. Не переносите длину этого штриха на всю прямую.

Ошибка: обозначать отрезок одной буквой или забывать один из его концов. Это происходит, когда путают название точки и название фигуры. Сверьте запись с чертежом: точку обозначает одна заглавная буква, а для отрезка указывают обе точки-конца. Например, AB — отрезок с концами A и B.

Ошибка: складывать длины любых двух отрезков, не проверяя их расположение. Такое случается, если формулу AC = AB + BC запоминают без условия о точке B. Проверьте, что A, B и C лежат на одной прямой и B находится между A и C. Только тогда два меньших отрезка составляют весь AC.

Связь с другими темами

Для работы с этими фигурами нужно уметь находить точки и линии на чертеже, пользоваться линейкой и измерять длину отрезка. Эти умения применяются при изучении углов, треугольников и других многоугольников: их стороны состоят из отрезков, а вершины являются точками. Представление о фигуре как множестве точек помогает описывать пересечения и взаимное расположение фигур. Поэтому точные обозначения и чтение чертежей пригодятся во многих геометрических задачах.

Что запомнить

• Геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек.
• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами и имеет конечную длину.
• Если точка лежит между концами отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин его частей.