Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — основная геометрическая фигура, не имеющая размеров. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На бумаге точку изображают маленькой отметкой, но размер отметки нужен только для удобства. Точки помогают указывать места, задавать прямые и отмечать концы отрезков.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Через две различные точки можно провести единственную прямую. Её обозначают двумя заглавными буквами, например AB, если точки A и B лежат на этой прямой. Две точки однозначно определяют прямую, поэтому такого обозначения достаточно.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются его концами. Отрезок обозначают буквами его концов, например AB. В отличие от целой прямой, отрезок можно измерить: у него есть границы, между которыми расположены все его точки. Это понятие понадобится, когда нужно сравнивать и находить длины.

Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. Его называют, указывая сначала начало, затем точку на луче: луч AB начинается в A и проходит через B. После точки B луч продолжается дальше, поэтому B не является его концом. Такое обозначение помогает не перепутать направление.

Как это устроено

Чтобы задать прямую, сначала отмечают две различные точки. Через них можно провести только одну прямую: если бы существовали две разные прямые через те же точки, они совпали бы в этих точках и не задавали бы единственную линию. Поэтому пары букв достаточно, чтобы понять, о какой прямой идёт речь. Если на прямой отмечены A и B, её можно назвать прямой AB.

От прямой переходят к отрезку, выбирая на ней две точки. Они становятся концами, а частью отрезка считают участок между ними вместе с самими концами. Так получают ограниченную фигуру, у которой можно измерить длину. Например, точки A и C выделяют отрезок AC, даже если прямая продолжается далеко за них.

Чтобы получить луч, на прямой выбирают точку начала. Затем задают направление, указав ещё одну точку, через которую луч проходит; после неё линия мысленно продолжается бесконечно. Поэтому луч ограничен только в начале, а отрезок ограничен с двух сторон. Прямая же не имеет ни начала, ни конца и уходит в обе стороны.

Буквы помогают связывать чертёж с его описанием. Заглавная буква обычно называет точку, две буквы могут обозначать прямую или отрезок, а для луча порядок букв показывает направление от начала. По записи луча AB можно понять, что он начинается в A и проходит через B. Одинаковые буквы имеют смысл только вместе с указанием фигуры.

При чтении чертежа сначала находят обозначенные точки, затем проверяют, какие из них лежат на одной линии и где расположены концы. Прямую рисуют с продолжением в обе стороны, отрезок — между двумя отмеченными концами, а луч — от начала в выбранном направлении. На бумаге линии конечны, однако их видимые края не всегда являются границами фигуры. Рисунок показывает расположение, но не гарантирует точные длины и расстояния.

Сравнение основных геометрических фигур

Сначала посмотрите, есть ли у фигуры границы: два конца указывают на отрезок, а один отмеченный старт — на луч. Если границ нет, перед вами может быть прямая, а отдельная отметка обозначает точку. В обозначении луча особенно важно проверить, какая буква стоит первой.

Разбор задач

Задача 1

Отметьте точки A и B и обозначьте прямую, проходящую через них. В условии названы две точки, и нужно указать фигуру, которая через них проходит. Поскольку A и B различны, они задают одну прямую. Рисунок может показывать только её часть.

1. Отметим на чертеже две разные точки и подпишем их A и B.
2. Проведём через обе точки линию, продолжив её за пределы отметок в обе стороны.
3. Назовём полученную фигуру прямой AB; порядок этих букв для прямой не задаёт направление.

Ответ: прямая AB.

Задача 2

На прямой отмечены точки A, B и C. Нужно записать отрезок с концами A и C, а также луч с началом B, проходящий через C. В первом случае важны именно две границы фигуры. Во втором нужно учесть не только точки, но и направление от начала.

1. Для отрезка берём точки A и C как его концы и записываем AC. Можно было бы написать и CA: у отрезка порядок концов не меняет фигуру.
2. Для луча первой ставим букву B, потому что луч начинается в B.
3. Второй ставим C, так как луч должен проходить через эту точку; получаем обозначение BC.

Ответ: отрезок AC и луч BC.

Задача 3

Нарисуйте прямую, отметьте на ней точки A и B, а вне прямой — точку C. Назовите отрезок с концами A и B и луч с началом A, не проходящий через B. Важно не только подписать точки, но и построить фигуру, соответствующую условию. Луч из A должен идти в сторону, отличную от направления к B.

1. Проведём прямую и поставим на ней точки A и B, а затем отметим C вне этой прямой.
2. Между A и B выделим часть прямой и назовём её отрезком AB.
3. Из A проведём луч в противоположную от B сторону. Точка B на нём лежать не должна.
4. Для однозначного обозначения луча понадобится точка на нём, отличная от A. Можно назвать её D и записать луч AD; точка C не подходит, потому что она вне прямой.

Ответ: отрезок AB и луч AD, если D отмечена на луче с началом A в сторону, противоположную B.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямую ограниченной краями нарисованной линии. Так происходит потому, что на листе нельзя изобразить бесконечную фигуру целиком. Проверьте себя: если обозначена прямая, мысленно продолжите её за видимые края в обе стороны.

Луч часто путают с отрезком: на чертеже оба могут выглядеть как короткая линия. Причина в том, что продолжение луча за пределы рисунка не всегда показано. Уточните границы: два конца есть у отрезка, у луча отмечено только начало, а продолжение идёт в одну сторону.

Если в обозначении луча поменять буквы местами, изменится его начало. Эту ошибку допускают, потому что отрезки AB и BA обозначают одинаковый участок, и привычку переносят на лучи. Для проверки прочитайте запись вслух: первая точка должна быть началом, а вторая — точкой на луче.

Нельзя измерить длину прямой или луча так же, как отрезка. На рисунке виден лишь небольшой участок, и его длина не является длиной бесконечной фигуры. Проверьте, есть ли у фигуры два конца: измерять можно ограниченную ими часть, то есть отрезок.

Связь с другими темами

Перед изучением фигур полезно уметь обозначать точки заглавными латинскими буквами и читать простые чертежи. Эти знания помогают понимать, какие точки связаны с линией и что именно обозначают буквы. Точки, прямые, отрезки и лучи станут основой для изучения углов, многоугольников и взаимного расположения фигур. Представление об отрезке и его концах пригодится при измерении длины и решении геометрических задач.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Отрезок имеет два конца.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• В обозначении луча первой указывают его начало.