Математика 4 класс Часть 2, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 57

Развернутое решение упражнения 13

Утверждение: «Если значение каждого слагаемого суммы \( 36 + 44 \) увеличить в \( 20 \) раз, то и значение суммы увеличится в \( 20 \) раз?»

Шаг 1. Найдём исходное значение суммы:

• \( 36 + 44 = 80 \).

Шаг 2. Увеличим каждое слагаемое в \( 20 \) раз:

• Первое слагаемое: \( 36 \cdot 20 \). Сначала умножим \( 36 \cdot 2 = 72 \), затем припишем ноль. Получим \( 720 \).
• Второе слагаемое: \( 44 \cdot 20 \). Сначала умножим \( 44 \cdot 2 = 88 \), затем припишем ноль. Получим \( 880 \).

Шаг 3. Найдём новое значение суммы:

• \( 720 + 880 \). Сложим: \( 700 + 800 = 1500 \), \( 20 + 80 = 100 \). \( 1500 + 100 = 1600 \).
• Новое значение суммы равно \( 1600 \).

Шаг 4. Проверим, во сколько раз увеличилась сумма:

• Нам нужно разделить новое значение суммы на исходное значение суммы: \( 1600 \div 80 \).
• Разделим \( 160 \) на \( 8 \) (отбросив ноли): \( 160 \div 8 = 20 \).
• Сумма увеличилась в \( 20 \) раз.

Вывод: Утверждение верно. Если каждое слагаемое увеличить в \( 20 \) раз, то и сумма увеличится в \( 20 \) раз. Это свойство сложения: \( (a \cdot k) + (b \cdot k) = (a + b) \cdot k \).

Развернутое решение упражнения 14

Шаг 1. Найдём исходное значение произведения:

• Исходное произведение: \( 15 \cdot 10 = 150 \).

Шаг 2. Изменим множители согласно условию:

• Первый множитель: \( 15 \) увеличим в \( 4 \) раза: \( 15 \cdot 4 = 60 \).
• Второй множитель: \( 10 \) оставим без изменения.

Шаг 3. Найдём новое значение произведения:

• Новое произведение: \( 60 \cdot 10 = 600 \).

Шаг 4. Определим, как изменилось значение произведения:

• Чтобы узнать, во сколько раз изменилось произведение, разделим новое произведение на исходное: \( 600 \div 150 \).
• \( 600 \div 150 = 4 \).

Вывод: Если один из множителей увеличить в \( 4 \) раза, а второй оставить без изменения, то и произведение увеличится в \( 4 \) раза. (Это свойство умножения: \( (a \cdot n) \cdot b = (a \cdot b) \cdot n \)).

Развернутое решение упражнения 15 (1)

Выполним деление с остатком: \( 448 \div 10 \)

Шаг 1. Определим, сколько раз число \( 10 \) содержится в числе \( 448 \).

• Мы знаем, что при делении на \( 10 \), частное — это число, полученное отбрасыванием последней цифры (единиц), а остаток — это сама последняя цифра.
• Поскольку \( 440 \div 10 = 44 \), то число \( 448 \) содержит \( 10 \) ровно \( 44 \) раза.
• Частное равно \( 44 \).

Шаг 2. Найдём остаток.

• Для этого из делимого \( 448 \) вычтем произведение частного и делителя: \( 448 - (44 \cdot 10) = 448 - 440 = 8 \).
• Остаток равен \( 8 \).
• Проверим: остаток \( 8 \) меньше делителя \( 10 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 15 (2)

Выполним деление с остатком: \( 683 \div 10 \)

Шаг 1. Определим частное.

• При делении на \( 10 \), частное — это число, полученное отбрасыванием последней цифры.
• \( 683 \) содержит \( 10 \) ровно \( 68 \) раз (так как \( 680 \div 10 = 68 \)).
• Частное равно \( 68 \).

Шаг 2. Найдём остаток.

• Остаток — это последняя цифра делимого: \( 3 \).
• Проверим: \( 683 - (68 \cdot 10) = 683 - 680 = 3 \).
• Остаток равен \( 3 \).
• Остаток \( 3 \) меньше делителя \( 10 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 15 (3)

Выполним деление с остатком: \( 367 \div 80 \)

Шаг 1. Определим частное.

• Нужно найти, сколько раз число \( 80 \) содержится в числе \( 367 \).
• Будем подбирать: \( 80 \cdot 1 = 80 \), \( 80 \cdot 2 = 160 \), \( 80 \cdot 3 = 240 \), \( 80 \cdot 4 = 320 \), \( 80 \cdot 5 = 400 \).
• Число \( 400 \) больше \( 367 \), значит, \( 80 \) содержится в \( 367 \) \( 4 \) раза.
• Частное равно \( 4 \).

Шаг 2. Найдём остаток.

• Вычтем из делимого \( 367 \) произведение частного и делителя: \( 367 - (4 \cdot 80) = 367 - 320 = 47 \).
• Остаток равен \( 47 \).
• Проверим: остаток \( 47 \) меньше делителя \( 80 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 15 (4)

Выполним деление с остатком: \( 421 \div 50 \)

Шаг 1. Определим частное.

• Найдём, сколько раз число \( 50 \) содержится в числе \( 421 \).
• Будем подбирать, используя умножение на \( 5 \): \( 50 \cdot 8 = 400 \), \( 50 \cdot 9 = 450 \).
• Число \( 450 \) больше \( 421 \), значит, \( 50 \) содержится в \( 421 \) \( 8 \) раз.
• Частное равно \( 8 \).

Шаг 2. Найдём остаток.

• Вычтем из делимого \( 421 \) произведение частного и делителя: \( 421 - (8 \cdot 50) = 421 - 400 = 21 \).
• Остаток равен \( 21 \).
• Проверим: остаток \( 21 \) меньше делителя \( 50 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 15 (5)

Выполним деление с остатком: \( 293 \div 70 \)

Шаг 1. Определим частное.

• Найдём, сколько раз число \( 70 \) содержится в числе \( 293 \).
• Будем подбирать, используя умножение на \( 7 \): \( 70 \cdot 4 = 280 \), \( 70 \cdot 5 = 350 \).
• Число \( 350 \) больше \( 293 \), значит, \( 70 \) содержится в \( 293 \) \( 4 \) раза.
• Частное равно \( 4 \).

Шаг 2. Найдём остаток.

• Вычтем из делимого \( 293 \) произведение частного и делителя: \( 293 - (4 \cdot 70) = 293 - 280 = 13 \).
• Остаток равен \( 13 \).
• Проверим: остаток \( 13 \) меньше делителя \( 70 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 18 (1)

Уравнение: \( x - 12 = 0 \)

Шаг 1. Определим, что нужно найти.

• В этом уравнении \( x \) — это уменьшаемое, \( 12 \) — вычитаемое, \( 0 \) — разность.
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Шаг 2. Выполним вычисления.

• \( x = 0 + 12 \)
• \( x = 12 \)

Шаг 3. Выполним проверку (подставим найденное значение \( x \) в исходное уравнение).

• \( 12 - 12 = 0 \)
• \( 0 = 0 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 18 (2)

Уравнение: \( x \div 108 = 1 \)

Шаг 1. Определим, что нужно найти.

• В этом уравнении \( x \) — это делимое, \( 108 \) — делитель, \( 1 \) — частное.
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.

Шаг 2. Выполним вычисления.

• \( x = 1 \cdot 108 \)
• \( x = 108 \)

Шаг 3. Выполним проверку.

• \( 108 \div 108 = 1 \)
• \( 1 = 1 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 18 (3)

Уравнение: \( x \cdot 18 = 18 \)

Шаг 1. Определим, что нужно найти.

• В этом уравнении \( x \) — это неизвестный множитель, \( 18 \) — известный множитель, \( 18 \) — произведение.
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Шаг 2. Выполним вычисления.

• \( x = 18 \div 18 \)
• \( x = 1 \)

Шаг 3. Выполним проверку.

• \( 1 \cdot 18 = 18 \)
• \( 18 = 18 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 18 (4)

Уравнение: \( 25 + x = 25 \)

Шаг 1. Определим, что нужно найти.

• В этом уравнении \( x \) — это неизвестное слагаемое, \( 25 \) — известное слагаемое, \( 25 \) — сумма.
• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Шаг 2. Выполним вычисления.

• \( x = 25 - 25 \)
• \( x = 0 \)

Шаг 3. Выполним проверку.

• \( 25 + 0 = 25 \)
• \( 25 = 25 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 18 (5)

Уравнение: \( y \div 1 = 37 \)

Шаг 1. Определим, что нужно найти.

• В этом уравнении \( y \) — это делимое, \( 1 \) — делитель, \( 37 \) — частное.
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.

• Важное правило: Если число разделить на \( 1 \), то получится то же самое число. Значит, делимое равно частному.

Шаг 2. Выполним вычисления.

• \( y = 37 \cdot 1 \)
• \( y = 37 \)

Шаг 3. Выполним проверку.

• \( 37 \div 1 = 37 \)
• \( 37 = 37 \). Верно.

Развернутое решение упражнения 19

Задача: Начертить и вырезать квадрат со стороной \( 4 \) см, составить из \( 2 \) таких квадратов \( 2 \) разных прямоугольника и найти их периметр и площадь.

Шаг 1. Исходный квадрат.

• Сторона квадрата: \( a = 4 \) см.
• Площадь одного квадрата (\( S_1 \)): \( S_1 = a \cdot a = 4 \cdot 4 = 16 \) кв. см.

Шаг 2. Составление первого прямоугольника.

Составим прямоугольник, приложив два квадрата длинными сторонами. В данном случае у квадрата все стороны равны.

• Длина прямоугольника: \( L_1 = 4 \) см (сторона первого квадрата) \( + 4 \) см (сторона второго квадрата) \( = 8 \) см.
• Ширина прямоугольника: \( W_1 = 4 \) см (равна стороне квадрата).
• Периметр первого прямоугольника (\( P_1 \)): \( P_1 = 2 \cdot (L_1 + W_1) = 2 \cdot (8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24 \) см.
• Площадь первого прямоугольника (\( S_1 \)): \( S_1 = L_1 \cdot W_1 = 8 \cdot 4 = 32 \) кв. см.

Шаг 3. Составление второго прямоугольника.

Из двух одинаковых квадратов составить два разных прямоугольника невозможно, так как прикладывая их друг к другу, мы всегда получим прямоугольник с размерами \( 4 \) см на \( 8 \) см или \( 8 \) см на \( 4 \) см (что является одним и тем же прямоугольником).

Важное примечание: Если в условии была ошибка и имелось в виду составить прямоугольник из другого числа квадратов или из двух разных фигур, то можно было бы получить другой результат. Но из \( 2 \) одинаковых квадратов можно составить только один вид прямоугольника.

Проверка площади: Площадь прямоугольника (32 кв. см) должна быть равна сумме площадей двух квадратов: \( 16 + 16 = 32 \) кв. см. (Верно).

• Из двух одинаковых квадратов со стороной \( 4 \) см можно составить только один вид прямоугольника со сторонами \( 8 \) см и \( 4 \) см.
• Периметр этого прямоугольника: \( 24 \) см.
• Площадь этого прямоугольника: \( 32 \) кв. см.

Развернутое решение упражнения 20 (1) - Общая сторона AC

Нужно найти все треугольники, у которых сторона \( AC \) является одной из сторон. На чертеже \( AC \) — это одна из двух диагоналей четырехугольника \( ABCD \). Точки \( K \), \( O \), \( M \) лежат на другой диагонали \( BD \).

• Треугольники, вершинами которых являются концы отрезка \( AC \) и третья вершина:
• \( \triangle ABC \): Составлен из \( AC \) и сторон четырехугольника \( AB \) и \( BC \).
• \( \triangle ADC \): Составлен из \( AC \) и сторон четырехугольника \( AD \) и \( DC \).
• \( \triangle AOC \): Третья вершина — точка \( O \), пересечение диагоналей.
• \( \triangle AKC \): Третья вершина — точка \( K \), лежащая на диагонали \( BD \).
• \( \triangle AMC \): Третья вершина — точка \( M \), лежащая на диагонали \( BD \).

Развернутое решение упражнения 20 (2) - Общая сторона BC

Нужно найти все треугольники, у которых сторона \( BC \) является одной из сторон. \( BC \) — это сторона четырехугольника \( ABCD \).

• Треугольники, вершинами которых являются концы отрезка \( BC \) и третья вершина:
• \( \triangle ABC \): Третья вершина — \( A \).
• \( \triangle DBC \): Третья вершина — \( D \) (большой треугольник).
• \( \triangle OBC \): Третья вершина — точка \( O \), пересечение диагоналей.
• \( \triangle KBC \): Третья вершина — точка \( K \), лежащая на диагонали \( BD \).
• \( \triangle MBC \): Третья вершина — точка \( M \), лежащая на диагонали \( BD \).

Развернутое решение упражнения 21 (1)

Признак делимости на \( 2 \)

Деление числа на \( 2 \) без остатка означает, что число является чётным. Чётные числа — это числа, которые можно разделить на две равные части (или "разбить по парам").

Любое целое число можно представить в виде суммы: "число десятков" + "число единиц". Например, \( 34 = 30 + 4 \).

• Число десятков (например, \( 30 \), \( 50 \), \( 120 \) и т.д.) всегда заканчивается на \( 0 \), и оно всегда делится на \( 2 \) без остатка, потому что \( 10 \div 2 = 5 \), и \( 10 \) делится на \( 2 \) без остатка.
• Значит, делимость всего числа на \( 2 \) зависит только от его последней цифры (числа единиц).
• Если последняя цифра — это \( 0 \), \( 2 \), \( 4 \), \( 6 \), или \( 8 \), то это число единиц делится на \( 2 \) без остатка: \( 0 \div 2 = 0 \), \( 2 \div 2 = 1 \), \( 4 \div 2 = 2 \), \( 6 \div 2 = 3 \), \( 8 \div 2 = 4 \).

Так как число десятков делится на \( 2 \), и число единиц делится на \( 2 \), то и вся сумма (исходное число) делится на \( 2 \) без остатка.

Развернутое решение упражнения 21 (2)

Признак делимости на \( 5 \)

Мы используем то же правило: любое число можно представить как "число десятков" + "число единиц".

• Число десятков (например, \( 10, 20, 30 \dots \)) всегда делится на \( 5 \) без остатка, потому что \( 10 \div 5 = 2 \).
• Значит, чтобы всё число делилось на \( 5 \), его последняя цифра (число единиц) тоже должна делиться на \( 5 \) без остатка.
• Какие цифры делятся на \( 5 \)? Это \( 0 \) (\( 0 \div 5 = 0 \)) и \( 5 \) (\( 5 \div 5 = 1 \)).

Если последняя цифра будет \( 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 \) или \( 9 \), то будет остаток (например, \( 12 \div 5 = 2 \) (ост. \( 2 \)), \( 19 \div 5 = 3 \) (ост. \( 4 \))).

Развернутое решение задания "Найди лишнее выражение"

Шаг 1. Вычислим значение каждого выражения (частное).

• \( 240 \div 2 = 120 \)
• \( 360 \div 3 = 120 \)
• \( 600 \div 5 = 120 \)
• \( 120 \div 1 = 120 \)
• \( 480 \div 4 = 120 \)
• \( 720 \div 6 = 120 \)
• \( 1200 \div 10 = 120 \)

Шаг 2. Сравним полученные результаты.

Все выражения имеют одинаковое значение, равное \( 120 \). В этом ряду нет лишнего выражения по значению.

Шаг 3. Проанализируем делители и делимые.

Посмотрим на делители:

• \( 240 \div \textbf{2} \)
• \( 360 \div \textbf{3} \)
• \( 600 \div \textbf{5} \)
• \( 120 \div \textbf{1} \)
• \( 480 \div \textbf{4} \)
• \( 720 \div \textbf{6} \)
• \( 1200 \div \textbf{10} \)

Все делители, кроме \( 10 \), являются однозначными числами, а \( 10 \) — двузначное. Если бы "лишнее" искали по типу делителя, то \( 1200 \div 10 \) могло бы быть лишним.

Также можно обратить внимание на то, что делители \( 2, 3, 4, 5, 6 \) - это все числа от 2 до 6, а \( 1 \) и \( 10 \) - особенные.

Наиболее вероятный ответ при выполнении таких заданий в 4 классе — это \( 120 \div 1 \), так как деление на \( 1 \) не меняет делимое, что делает это выражение особенным. Либо \( 1200 \div 10 \), как единственное с двузначным делителем.

Примем \( 120 \div 1 \) как лишнее, потому что деление на \( 1 \) не имеет смысла в контексте "обычного" деления, как остальные примеры.

Развернутое решение упражнения 14 (1)

Выражение: \( 986 \cdot 134 - 701 \cdot 235 \)

Шаг 1. Выполним первое умножение: \( 986 \cdot 134 \)

• \( 986 \cdot 4 = 3944 \)
• \( 986 \cdot 30 = 29580 \) (или \( 986 \cdot 3 \) и приписать \( 0 \))
• \( 986 \cdot 100 = 98600 \)
• Сложим: \( 3944 + 29580 + 98600 = 132124 \).

Шаг 2. Выполним второе умножение: \( 701 \cdot 235 \)

• \( 701 \cdot 5 = 3505 \)
• \( 701 \cdot 30 = 21030 \)
• \( 701 \cdot 200 = 140200 \)
• Сложим: \( 3505 + 21030 + 140200 = 164735 \).

Шаг 3. Выполним вычитание:

• \( 132124 - 164735 \).

Важное примечание: Обратите внимание, что \( 132124 \) меньше, чем \( 164735 \). В 4 классе обычно не проходят отрицательные числа, поэтому, возможно, в задании допущена опечатка, и нужно вычесть меньшее из большего: \( 164735 - 132124 \).

Выполняем вычитание большего из меньшего (если это допустимо):

• \( 164735 - 132124 = 32611 \).
• Если следовать строго порядку, ответ будет \( -32611 \).

Будем считать, что задание подразумевает вычитание \( 701 \cdot 235 - 986 \cdot 134 \).

Развернутое решение упражнения 14 (2)

Выражение: \( 809 \cdot 350 - 406 \cdot 502 \)

Шаг 1. Выполним первое умножение: \( 809 \cdot 350 \)

• \( 809 \cdot 35 \) и припишем \( 0 \): \( 809 \cdot 35 = 28315 \).
• \( 809 \cdot 350 = 283150 \).

Шаг 2. Выполним второе умножение: \( 406 \cdot 502 \)

• \( 406 \cdot 2 = 812 \)
• \( 406 \cdot 00 = 0 \)
• \( 406 \cdot 500 = 203000 \)
• Сложим: \( 812 + 203000 = 203812 \).

Шаг 3. Выполним вычитание:

• \( 283150 - 203812 \).
• \( 283150 - 203812 = 79338 \).

Развернутое решение упражнения 14 (3)

Выражение: \( 34 \cdot (120 - 3920 \div 70) - (110 - 3420 \div 90) \cdot 25 \)

Часть I: \( 34 \cdot (120 - 3920 \div 70) \).

Шаг I-1. Деление в первой скобке: \( 3920 \div 70 \)

• \( 392 \div 7 = 56 \). Значит, \( 3920 \div 70 = 56 \).

Шаг I-2. Вычитание в первой скобке:

• \( 120 - 56 = 64 \).

Шаг I-3. Умножение:

• \( 34 \cdot 64 \). \( 34 \cdot 60 = 2040 \), \( 34 \cdot 4 = 136 \). \( 2040 + 136 = 2176 \).

Часть II: \( (110 - 3420 \div 90) \cdot 25 \).

Шаг II-1. Деление во второй скобке: \( 3420 \div 90 \)

• \( 342 \div 9 \). \( 34 \div 9 = 3 \) (ост. \( 7 \)). \( 72 \div 9 = 8 \). \( 342 \div 9 = 38 \). Значит, \( 3420 \div 90 = 38 \).

Шаг II-2. Вычитание во второй скобке:

• \( 110 - 38 = 72 \).

Шаг II-3. Умножение:

• \( 72 \cdot 25 \). \( 72 \cdot 20 = 1440 \), \( 72 \cdot 5 = 360 \). \( 1440 + 360 = 1800 \).

Шаг III. Общее вычитание:

• \( 2176 - 1800 = 376 \).