§ 8.5. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильных ядер, происходящее независимо от внешних условий. Нельзя выбрать момент, когда распадётся отдельное ядро, зато можно описывать поведение большого числа ядер. Это понятие нужно, чтобы отличать случайное событие от закономерности для целого образца.

Закон радиоактивного распада — зависимость числа нераспавшихся ядер от времени: N(t) = N₀e^(−λt). Здесь N₀ — начальное число ядер, N(t) — оставшееся к моменту t количество, а λ — постоянная распада. Формула позволяет рассчитать, какая часть вещества сохранится через выбранное время.

Постоянная распада λ — вероятность распада отдельного ядра за единицу времени. Её единица измерения — обратная единица времени, например с⁻¹ или сут⁻¹; λ характеризует скорость уменьшения числа ядер. Чем больше λ, тем быстрее идёт распад и тем меньше период полураспада.

Период полураспада T₁/₂ — время, за которое в среднем распадается половина ядер, имевшихся к началу этого периода. Его измеряют в единицах времени: секундах, часах или годах. Эта величина помогает сравнивать, насколько быстро распадаются разные изотопы.

Как это устроено

Для отдельного ядра распад происходит случайно: нельзя определить точное время события, даже зная свойства ядра. Однако у каждого ядра есть одна и та же вероятность распасться за выбранный промежуток времени. Если ядер много, доля распавшихся становится предсказуемой, потому что случайные результаты усредняются.

За равные промежутки времени распадается примерно одинаковая доля имеющихся ядер, а не одинаковое их количество. Например, сначала половина распадается от большого начального количества, а позже такая же доля — уже от меньшего остатка. Поэтому уменьшение не может идти с постоянным числом ядер за единицу времени: получается экспоненциальный спад.

Закон этого изменения записывают так: N(t) = N₀e^(−λt). Здесь t — время, прошедшее с начала наблюдения, N₀ — число ядер при t = 0, а N(t) — число нераспавшихся ядер спустя это время. Если подставить t = 0, получим N(0) = N₀e⁰ = N₀, то есть формула правильно задаёт начальное состояние образца.

Период полураспада находят из закона, положив N(T₁/₂) = N₀/2. Тогда ½ = e^(−λT₁/₂), откуда T₁/₂ = ln 2 / λ. После одного периода остаётся половина начального количества, после следующего — половина от этого остатка, то есть четверть начального; так происходит при каждом последующем периоде.

Активность A показывает, сколько распадов происходит за единицу времени, и связана с числом нераспавшихся ядер формулой A = λN. Поскольку λ для данного изотопа постоянна, изменение активности повторяет изменение N: A(t) = A₀e^(−λt). Значит, активность источника убывает по тому же экспоненциальному закону, что и число ядер.

На графике по горизонтали отложено время в периодах полураспада, а по вертикали — доля оставшихся ядер. При t = 0 доля равна 1, через один период — ½, через два — ¼, через три — ⅛. Кривая убывает плавно: закон описывает среднее поведение большого числа ядер, а не точную последовательность отдельных распадов.

Величины и соотношения закона радиоактивного распада

Сначала определите, что требуется найти: оставшееся количество, период, постоянную распада или активность. Затем выберите соответствующую формулу и проверьте, что единицы времени согласованы. Если известен период полураспада, удобно считать число прошедших периодов и последовательно делить количество ядер пополам.

Разбор задач

1. Доля ядер через 24 суток

Период полураспада изотопа равен 8 суткам. Найдём, какая доля первоначального числа ядер останется через 24 суток. Начальное количество не задано, поэтому достаточно определить долю, не подставляя конкретное число ядер.

1. Найдём число периодов: n = 24 / 8 = 3.
2. За каждый период остаётся половина предыдущего количества. Значит, доля остатка равна (½)³ = ⅛.
3. Проверим рассуждение по шагам: после 8 суток остаётся ½, после 16 — ¼, после 24 — ⅛ начального количества.

Ответ: останется ⅛, или 12,5% первоначального числа ядер.

2. Число ядер через 15 часов

В образце было 8000 радиоактивных ядер, период полураспада — 5 часов. Требуется найти число ядер, которые не распадутся за 15 часов. Удобно использовать периоды полураспада: при таком подходе не нужно отдельно вычислять постоянную распада.

1. Определим число периодов: n = 15 / 5 = 3.
2. Найдём оставшуюся долю: (½)³ = ⅛. Тогда N = 8000 · ⅛.
3. Вычислим: 8000 / 8 = 1000. Проверка по шагам даёт тот же результат: 8000 → 4000 → 2000 → 1000.

Ответ: через 15 часов останется 1000 нераспавшихся ядер.

3. Период и постоянная распада по активности

Активность образца уменьшилась в 4 раза за 12 суток. Нужно определить период полураспада и постоянную распада. Так как A = λN, а λ для изотопа не меняется, отношение активностей равно отношению числа нераспавшихся ядер.

1. Уменьшение в 4 раза означает, что осталось ¼ исходной активности. Поскольку ¼ = (½)², за 12 суток прошли два периода полураспада.
2. Найдём период: T₁/₂ = 12 / 2 = 6 суток.
3. Вычислим λ = ln 2 / T₁/₂ = 0,693 / 6 ≈ 0,116 сут⁻¹. Если нужна единица с⁻¹, сначала переведём время: 6 суток = 518 400 с, поэтому λ ≈ 1,34 · 10⁻⁶ с⁻¹.

Ответ: T₁/₂ = 6 суток; λ ≈ 0,116 сут⁻¹, или 1,34 · 10⁻⁶ с⁻¹.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что за равные промежутки времени распадается одинаковое число ядер. Так думают, если смешивают постоянную долю с постоянным количеством: по мере распада ядер становится меньше, поэтому уменьшается и число распадов за одинаковый интервал. Проверьте себя: сравните, что именно повторяется в задаче — доля остатка или количество.

Формулу N(t) = N₀e^(−λt) иногда применяют к числу уже распавшихся ядер. Она описывает только нераспавшиеся ядра, поэтому распавшихся будет N₀ − N(t). Для проверки посмотрите на начальный момент: при t = 0 формула должна дать весь начальный запас ядер, а не ноль.

Нельзя подставлять время в часах, если λ выражена в сут⁻¹, или время в секундах при λ в год⁻¹. Такая ошибка приводит к неверному показателю экспоненты и может сильно изменить результат. Перед вычислениями запишите единицы обеих величин и приведите их к одной системе.

После периода полураспада распадается половина ядер, которые были к его началу, а не обязательно половина первоначального количества. Ошибка возникает, если каждый раз отнимать одну и ту же часть N₀. Проверьте расчёт: остатки после нескольких периодов должны быть N₀/2, N₀/4, N₀/8, а не линейно убывать.

Связь с другими темами

Для понимания распада нужны представления об атомном ядре и радиоактивности, а также знание экспоненциальной зависимости. Закон связывает число нераспавшихся ядер с активностью источника, которую измеряют в беккерелях: один беккерель соответствует одному распаду в секунду. Те же зависимости применяют при радиоактивном датировании, чтобы оценивать возраст образцов, и в дозиметрии при изучении радиоактивного излучения.

Что запомнить

• Распад отдельного ядра случаен, но для большого числа ядер можно предсказать закономерное изменение их количества.
• Число нераспавшихся ядер убывает по закону N(t) = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует скорость распада и измеряется в обратных единицах времени.
• После каждого периода полураспада остаётся половина ядер, имевшихся к его началу.
• Период полураспада и постоянная распада связаны формулой T₁/₂ = ln 2 / λ.
• Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер: A = λN.