5. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра с испусканием излучения или частицы. Ядру не требуется внешнее воздействие, чтобы распасться. Понятие нужно, чтобы описывать превращения радиоактивных веществ и их излучение.

Постоянная распада λ — характеристика радионуклида, определяющая вероятность распада ядра за единицу времени. Чем больше λ, тем быстрее в среднем уменьшается число ядер. Эта величина входит в основной закон распада и измеряется в с⁻¹.

Период полураспада T₁/₂ — время, за которое распадается половина исходного числа радиоактивных ядер. После этого остаётся половина, а не ноль. Период удобен для сравнения разных радионуклидов и оценки времени, за которое вещество значительно ослабнет.

Активность A — число радиоактивных распадов, происходящих в источнике за единицу времени. Она показывает, насколько интенсивно источник испускает излучение в данный момент. Единица активности — беккерель (Бк), то есть один распад в секунду.

Как это устроено

Момент распада отдельного ядра нельзя предсказать, потому что квантовый процесс имеет вероятностный характер. Для каждого ядра можно говорить лишь о вероятности распасться за выбранный промежуток времени. Когда ядер очень много, случайности отдельных событий усредняются, и появляется точная статистическая закономерность.

За одинаковый малый промежуток времени распадается одна и та же доля имеющихся ядер, а не одно и то же их число. Поэтому число распадов пропорционально текущему количеству N: чем ядер меньше, тем меньше распадов происходит за тот же промежуток. Такая зависимость приводит к экспоненциальному закону N(t) = N₀e^(−λt), где знак «минус» показывает уменьшение числа ядер.

Период полураспада найдём из условия N = N₀/2 через время T₁/₂. Подстановка в закон даёт ½ = e^(−λT₁/₂), после логарифмирования получается T₁/₂ = ln 2 / λ. Следовательно, большая постоянная распада означает короткий период полураспада, а малая λ — долгий период.

За первый период распадается половина первоначального количества, а за второй — половина того, что осталось после первого. Поэтому после двух периодов сохраняется ¼N₀, после трёх — ⅛N₀, после n периодов — N₀/2ⁿ. Такое правило объясняет, почему вещество постепенно приближается к полному исчезновению, но не исчезает математически за конечное число периодов.

Активность равна A = λN, поскольку каждое из N ядер имеет вероятность распада, задаваемую λ. Для одного и того же радионуклида λ постоянна, поэтому при уменьшении N во столько же раз уменьшается и A. Масса образца пропорциональна числу содержащихся в нём радиоактивных ядер, значит, она также изменяется по закону m = m₀e^(−λt).

Основные величины закона радиоактивного распада

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите строку с её формулой. Следите, чтобы единицы времени у t и λ совпадали: например, при λ в с⁻¹ время нужно выразить в секундах. Если дан период полураспада, часто удобнее считать число прошедших периодов, не вычисляя экспоненту.

Разбор задач

Задача 1

Период полураспада вещества равен 6 ч, первоначально было 8,0·10²⁰ ядер. Требуется найти число ядер через 18 ч. Время удобно выразить через периоды полураспада.

1. Находим число периодов: n = 18 ч / 6 ч = 3.
2. За три периода останется доля 1/2³ = 1/8 первоначального количества.
3. Вычисляем число ядер: N = 8,0·10²⁰ / 8 = 1,0·10²⁰.

Ответ: через 18 ч останется 1,0·10²⁰ ядер. Здесь не нужно считать половину первоначального числа три раза: каждый раз уменьшается уже оставшееся количество.

Задача 2

За 12 суток число радиоактивных ядер уменьшилось в 8 раз. Нужно найти период полураспада и постоянную распада. Уменьшение в 8 раз означает сохранение доли 1/8 = 1/2³.

1. Следовательно, за 12 суток прошло три периода: n = 3.
2. Период полураспада равен T₁/₂ = 12 суток / 3 = 4 суток.
3. Переводим период в секунды: 4 суток = 345 600 с.
4. Находим λ = ln 2 / T₁/₂ ≈ 0,693 / 345 600 с ≈ 2,0·10⁻⁶ с⁻¹.

Ответ: T₁/₂ = 4 суток, λ ≈ 2,0·10⁻⁶ с⁻¹. Единицу с⁻¹ получили потому, что период перед подстановкой выразили в секундах.

Задача 3

Активность образца уменьшилась с 4,8·10⁶ Бк до 3,0·10⁵ Бк, период полураспада равен 5 годам. Нужно определить прошедшее время. Отношение активностей равно отношению чисел нераспавшихся ядер.

1. Находим, во сколько раз уменьшилась активность: 4,8·10⁶ / 3,0·10⁵ = 16.
2. Представляем 16 как степень двойки: 16 = 2⁴, значит, прошло четыре периода полураспада.
3. Вычисляем время: t = 4T₁/₂ = 4·5 лет = 20 лет.

Ответ: с начала наблюдения прошло 20 лет. Использование активности вместо числа ядер допустимо, потому что A = λN и λ образца не меняется.

Типичные ошибки

Половина первоначального количества. Ошибка возникает, когда за каждый период вычитают одну и ту же величину. Проверка проста: после двух периодов должно остаться N₀/4, а после трёх — N₀/8.

Путаница λ и T₁/₂. Эти величины связаны обратно: T₁/₂ = ln 2 / λ, а не произведением или прямой пропорцией. Проверьте размерность: у λ должна быть единица времени⁻¹, у периода — единица времени.

Несогласованные единицы времени. Подстановка часов в формулу при λ, выраженной в с⁻¹, даёт неверный результат. Перед вычислением приведите t и T₁/₂ к одной единице времени.

Постоянная активность. Активность не остаётся неизменной, потому что число доступных для распада ядер уменьшается. Если период времени сравним с периодом полураспада, активность нужно вычислять как A = A₀e^(−λt).

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны показательная функция, экспонента, логарифм и навыки перевода единиц времени. Тема опирается на знания о строении атомного ядра и видах радиоактивности. Закон применяют в радиоуглеродном датировании, ядерной энергетике, медицине и оценке радиационной безопасности.

Что запомнить

• Распад отдельного ядра случаен, но распад большого числа ядер подчиняется строгой статистической закономерности.
• Число нераспавшихся ядер изменяется по закону N = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует скорость радиоактивного распада.
• Период полураспада связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2 / λ.
• За один период полураспада остаётся половина текущего количества ядер.
• Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер и уменьшается по тому же закону.
• Единица активности — беккерель: один распад в секунду.