§84. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц или излучения. Для отдельного ядра момент превращения случаен: нельзя назвать время, когда оно обязательно распадётся. Это понятие нужно, чтобы отличать вероятностное событие от закономерности, наблюдаемой для большого числа ядер.

Постоянная радиоактивного распада λ — вероятность распада ядра за единицу времени. В СИ её измеряют в с⁻¹; чем больше λ, тем чаще распадаются ядра за один и тот же промежуток времени. Она позволяет сравнивать скорость распада разных изотопов и задаёт темп уменьшения их количества.

Период полураспада T₁/₂ — время, за которое число нераспавшихся ядер в среднем уменьшается вдвое. Это не означает, что каждое ядро живёт ровно столько: речь идёт о доле оставшихся ядер в образце. Период удобен для оценки того, насколько быстро убывает радиоактивное вещество.

Среднее время жизни τ — среднее время существования радиоактивного ядра до распада. Оно связано с постоянной распада формулой τ = 1 / λ и измеряется в секундах. Эта величина описывает характерный масштаб времени жизни ядер, а не срок жизни каждого из них.

Как это устроено

За малое время Δt вероятность распада одного ядра пропорциональна этому промежутку: она приблизительно равна λΔt. Поэтому при большем промежутке шанс распада выше, а при очень коротком — меньше. Число распавшихся ядер зависит и от количества ядер, которые ещё могут распасться: если их осталось меньше, то и распадов в среднем будет меньше.

Пусть N — число нераспавшихся ядер в данный момент. За малое время их число уменьшается на величину, пропорциональную N и Δt, поэтому скорость изменения числа ядер равна −λN: dN/dt = −λN. Минус показывает, что N убывает, а коэффициент λ задаёт скорость этого убывания. Такое уравнение выражает связь между количеством оставшихся ядер и числом распадов за единицу времени.

Решение уравнения даёт закон N(t) = N₀e^(−λt), где N₀ — начальное число ядер, а N(t) — среднее число нераспавшихся ядер через время t. Экспонента появляется потому, что скорость убывания всё время зависит от текущего количества: чем меньше ядер осталось, тем медленнее уменьшается их число в абсолютном выражении. Формула описывает среднее поведение образца, а не точное число ядер в каждый момент.

Период полураспада находят, подставляя в закон условие N(T₁/₂) = N₀/2. Тогда ½ = e^(−λT₁/₂), откуда после логарифмирования следует T₁/₂ = ln 2 / λ. Эта связь обратная: большое значение λ означает короткий период полураспада, а малое — долгий. Поэтому период характеризует скорость распада иначе, чем постоянная, но описывает то же свойство изотопа.

Активность A — число распадов за единицу времени; в СИ она измеряется в беккерелях, причём 1 Бк = 1 распад/с. Поскольку за единицу времени распадается доля λ от оставшихся ядер, A = λN. При неизменной λ активность убывает вместе с N: A(t) = A₀e^(−λt), где A₀ — начальная активность. Значит, по измерению активности можно судить об изменении количества радиоактивных ядер.

Величины и соотношения в законе радиоактивного распада

Сначала определите, какая величина дана и какую нужно найти, затем выберите соответствующую строку и формулу. Проверьте единицы: время в формуле экспоненты должно быть согласовано с единицей λ. Для активности помните, что Бк означает распад в секунду.

Разбор задач

Задача 1. Период полураспада изотопа равен 8 суткам. Какая доля ядер останется через 24 суток? Узнаем, сколько периодов полураспада укладывается в заданное время. В каждом таком периоде оставшаяся доля снова уменьшается вдвое.

1. Находим число периодов: 24 суток / 8 суток = 3. Единицы сокращаются, поэтому результат показывает число последовательных уменьшений вдвое.
2. После первого периода остаётся ½ исходного количества, после второго — ¼, после третьего — ⅛. Значит, искомая доля равна ⅛, или 0,125.

Ответ: через 24 суток останется ⅛ исходного числа ядер, то есть 12,5 %.

Задача 2. Постоянная распада вещества равна 2,0 · 10⁻⁶ с⁻¹. Найдём период полураспада и среднее время жизни ядер. Так как λ задана в обратных секундах, оба результата сначала получатся в секундах.

1. Используем T₁/₂ = ln 2 / λ: T₁/₂ = 0,693 / (2,0 · 10⁻⁶ с⁻¹) ≈ 3,47 · 10⁵ с. Деление на величину с⁻¹ даёт секунды.
2. Для среднего времени жизни применяем τ = 1 / λ: τ = 1 / (2,0 · 10⁻⁶ с⁻¹) = 5,0 · 10⁵ с. Переведём секунды в сутки, разделив на 86 400: период полураспада ≈ 4,0 суток, а среднее время жизни ≈ 5,8 суток.

Ответ: T₁/₂ ≈ 3,47 · 10⁵ с ≈ 4,0 суток; τ = 5,0 · 10⁵ с ≈ 5,8 суток.

Задача 3. Активность образца уменьшилась с 800 Бк до 100 Бк за 12 часов. Определим период полураспада и активность ещё через 6 часов. Активность при постоянной λ уменьшается в той же пропорции, что и число нераспавшихся ядер.

1. Сравниваем начальную и конечную активности: 800 / 100 = 8 = 2³. Значит, за 12 часов прошло три периода полураспада, и один период равен 12 / 3 = 4 часам.
2. За следующие 6 часов проходит 6 / 4 = 1,5 периода. Активность умножается на (½)^1,5, поэтому A ≈ 100 · 0,354 ≈ 35 Бк. Можно также записать закон A(t) = A₀e^(−λt), используя найденную λ = ln 2 / 4 ч.

Ответ: период полураспада равен 4 часам; ещё через 6 часов активность будет примерно 35 Бк.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что за равные промежутки времени распадается одно и то же число ядер. На деле в среднем уменьшается одна и та же доля оставшихся, потому что вероятность распада есть у каждого из них. Проверка: после каждого периода полураспада должно оставаться половина текущего количества, а не вычитаться постоянное число.

Постоянную распада путают с периодом полураспада или считают, что они прямо пропорциональны. Это происходит из-за того, что обе величины характеризуют скорость процесса, но связь между ними обратная: T₁/₂ = ln 2 / λ. Если λ увеличилась, период должен уменьшиться; это помогает проверить направление зависимости.

Подстановка времени без согласования единиц с λ приводит к неверному показателю экспоненты. Например, нельзя напрямую использовать часы и λ в с⁻¹: сначала переведите часы в секунды или выразите λ в ч⁻¹. Самопроверка проста: произведение λt должно быть безразмерным.

Иногда формулу воспринимают как точное предсказание числа распадов в малом образце. Но распад отдельного ядра случаен, поэтому фактическое число может отклоняться от среднего, особенно если ядер мало. Закон надёжно описывает статистическое поведение большого числа ядер; проверяйте, относится ли задача к среднему количеству, а не к конкретным событиям.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия вероятности и экспоненциальной функции, а также умение пользоваться логарифмами при выводе периода полураспада. Формулы применяют, чтобы рассчитывать активность источников и оценивать, как меняется количество радиоактивного вещества со временем. Закон также лежит в основе радиоизотопного датирования: по оставшемуся количеству изотопа оценивают возраст образца. Он помогает описывать ядерные превращения и их временной ход.

Что запомнить

• Распад отдельного ядра случаен, но поведение большого числа ядер закономерно.
• Число нераспавшихся ядер убывает по закону N(t) = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени.
• Период полураспада связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2 / λ.
• Среднее время жизни ядра τ = 1 / λ.
• Активность равна A = λN и убывает так же, как число нераспавшихся ядер.