§ 50. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц или излучения. Момент распада конкретного ядра случаен, поэтому его нельзя заранее указать. Закон распада описывает не отдельное ядро, а среднее поведение очень большого числа ядер.

Постоянная радиоактивного распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени. Её единица измерения — обратная единица времени: с⁻¹, мин⁻¹, сут⁻¹. За малый промежуток времени Δt вероятность распада примерно равна λΔt, поэтому λ позволяет количественно сравнивать устойчивость разных изотопов.

Период полураспада T — время, за которое в среднем распадается половина первоначального числа ядер. После этого остаётся половина исходных ядер, а ещё через такой же период — половина от оставшихся. Эта величина удобна для оценки скорости распада без непосредственного использования экспоненты.

Активность радиоактивного источника A — число распадов, происходящих в источнике за единицу времени. Единица активности — беккерель (Бк): один беккерель равен одному распаду в секунду. Активность показывает, насколько интенсивно источник испускает излучение в данный момент.

Как это устроено

Вероятность распада отдельного ядра за одинаковый промежуток времени не зависит от того, сколько оно уже существует. Поэтому среди большого числа ядер за равные интервалы распадается примерно одна и та же доля оставшихся ядер. Доля постоянна, а абсолютное число распадов уменьшается, потому что самих нераспавшихся ядер становится меньше.

Если за время dt распадается λNdt ядер, то число оставшихся изменяется на величину dN = −λNdt. Отсюда получается уравнение dN/dt = −λN: скорость изменения числа ядер пропорциональна текущему числу N. Знак «минус» означает уменьшение N, а λ задаёт, насколько быстро происходит это уменьшение.

Решением уравнения распада является формула N(t) = N₀e^(−λt), где N₀ — число ядер в начальный момент, а t — прошедшее время. Экспонента постепенно уменьшается, поэтому число ядер быстро убывает вначале и медленнее позднее. При этом математическая модель не даёт ровно нулевого значения за конечное время: N стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности.

Пусть t = T, тогда по смыслу периода полураспада N(T) = N₀/2. Подставляя это в закон распада, получаем 1/2 = e^(−λT), откуда λT = ln 2 и T = ln 2/λ. Начальное число ядер в вывод не входит, поэтому период полураспада определяется свойствами изотопа, а не размером образца.

Активность равна числу распадов в единицу времени, поэтому по модулю скорости изменения числа ядер A = −dN/dt = λN. Подставляя закон распада, получаем A(t) = A₀e^(−λt), где A₀ = λN₀. Следовательно, за каждый период полураспада активность, как и число нераспавшихся ядер, уменьшается вдвое.

Величины и зависимости в законе радиоактивного распада

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти, затем выберите строку с нужной связью. Особенно удобно использовать форму N(t) = N₀2^(−t/T), если время выражено целым или дробным числом периодов полураспада. Единицы времени в формулах должны совпадать с единицами, использованными для λ или T.

Разбор задач

Задача 1

Период полураспада изотопа равен 8 суткам. Нужно определить, какая доля первоначального числа ядер останется через 24 суток. Удобнее не подставлять числа в экспоненту, а посчитать, сколько периодов полураспада содержится в данном времени.

1. Находим число периодов: 24 сут / 8 сут = 3.
2. За первый период остаётся 1/2 ядер, за второй — 1/4, за третий — 1/8 первоначального числа.
3. То же можно записать формулой N/N₀ = 2^(−t/T) = 2^(−3) = 1/8.

Ответ: через 24 суток останется 1/8 первоначального числа ядер, то есть 12,5%. Каждый следующий период нужно применять к уже оставшемуся числу, а не к исходному.

Задача 2

Постоянная распада вещества равна 0,02 сут⁻¹. Требуется найти период полураспада. Единицы уже согласованы: λ задана в обратных сутках, значит T получится в сутках.

1. Используем связь T = ln 2/λ.
2. Подставляем значения: T = 0,693/0,02 сут⁻¹.
3. Вычисляем: T ≈ 34,7 суток.

Ответ: период полураспада примерно равен 35 суткам. Чем больше постоянная распада, тем меньше время, за которое распадается половина ядер.

Задача 3

Активность образца уменьшилась с 800 Бк до 100 Бк за 18 часов. Нужно определить период полураспада и активность через ещё 6 часов. Поскольку активность убывает по тому же закону, что и число ядер, к ней можно применять правило последовательного деления пополам.

1. Находим отношение активностей: 800/100 = 8 = 2³. Значит, за 18 часов прошло три периода полураспада.
2. Определяем период: T = 18 ч / 3 = 6 ч.
3. Через ещё 6 часов пройдёт один период, поэтому новая активность будет A = 100 Бк / 2 = 50 Бк.

Ответ: период полураспада равен 6 часам, а через следующие 6 часов активность составит 50 Бк. Такой способ работает потому, что отношение активностей равно отношению соответствующих чисел нераспавшихся ядер.

Типичные ошибки

Одинаковое число распадов за равные времена. Так считают, будто из образца каждый час исчезает, например, тысяча ядер. На самом деле постоянна доля распадающихся ядер, поэтому число распадов уменьшается вместе с N. Проверьте себя: сравните значения после нескольких периодов — они должны делиться пополам, а не вычитаться на одну и ту же величину.

Период полураспада принимают за время полного распада. После одного периода исчезает только половина ядер, а не весь образец. Затем половина оставшихся распадается снова, поэтому остаток постепенно приближается к нулю. Если в решении после T записано N = 0, ошибка найдена.

Путают λ и T. Эти величины связаны формулой T = ln 2/λ, но λ измеряется в обратных единицах времени, а T — во времени. Причина ошибки часто в том, что обе величины описывают скорость распада. Проверьте размерность результата: при делении 0,693 на λ должны получиться секунды, часы или другие единицы времени.

Не согласуют единицы времени. Нельзя подставлять часы в формулу, если λ выражена в сут⁻¹, потому что показатель экспоненты должен быть безразмерным. Перед вычислением переведите все интервалы в одни и те же единицы. Быстрая проверка — убедиться, что произведение λt не имеет единицы измерения.

Связь с другими темами

Для понимания закона нужны представления о вероятности и пропорциональной зависимости. Также требуется знать свойства экспоненциальной функции: она описывает изменение величины, скорость которого зависит от текущего значения этой величины.

Закон радиоактивного распада используют при расчёте активности источников и оценке количества радиоактивного вещества. По известным λ, T или A можно определить, как изменится источник через заданное время.

Период полураспада применяют в радиометрическом определении возраста образцов. Знание активности и её изменения также необходимо при оценке радиационной безопасности и выборе условий работы с источниками.

Что запомнить

• Распад отдельного ядра случаен, но для большого числа ядер выполняется статистическая закономерность.
• Число нераспавшихся ядер изменяется по закону N(t) = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени.
• Период полураспада связан с постоянной распада формулой T = ln 2/λ.
• После каждого периода полураспада остаётся половина ядер, имевшихся в его начале.
• Активность равна A = λN и убывает по тому же экспоненциальному закону.
• Единица активности — беккерель: один распад в секунду.