"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильных ядер. Нельзя точно предсказать момент распада отдельного ядра, но для большого числа ядер можно рассчитать, сколько останется через заданное время. Это описывает экспоненциальный закон радиоактивного распада. Он связывает число нераспавшихся ядер с постоянной распада, а также позволяет находить период полураспада и активность образца — величины, нужные для расчётов в ядерной физике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро или в более устойчивое состояние. Отдельное ядро может распасться в любой момент, поэтому точно предсказать его судьбу нельзя. Это понятие нужно, чтобы отличать случайное событие с одним ядром от закономерностей для целого образца.
Закон радиоактивного распада описывает, как с течением времени меняется число ещё не распавшихся ядер: N(t) = N₀e^(−λt). Здесь N₀ — начальное число ядер, N(t) — число нераспавшихся ядер к моменту t, а t — прошедшее время. Формула позволяет оценивать остаток вещества, а не число ядер, которые уже распались.
Постоянная распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени в принятом приближении. Её значение определяется видом радионуклида, то есть разновидностью атомов с радиоактивными ядрами, и измеряется в с⁻¹. Эта величина нужна для расчёта темпа убывания числа ядер.
Период полураспада T₁/₂ — время, за которое в среднем распадается половина первоначального числа ядер. В каждый такой промежуток оставшееся количество снова уменьшается вдвое, а не исчезает целиком. Период связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2 / λ, где ln 2 ≈ 0,693.
Невозможно указать точное время распада отдельного ядра: событие случайно. Однако у ядер одного радионуклида одинаковы условия и вероятность распада за один и тот же короткий промежуток. Поэтому в большой выборке доля распавшихся ядер в среднем повторяется, хотя конкретные отдельные ядра могут вести себя по-разному.
За малый промежуток времени распасться могут только ядра, которые ещё существуют. Если таких ядер больше, то и ожидаемое число распадов за тот же промежуток больше; при неизменной λ оно пропорционально N. Поскольку число оставшихся ядер уменьшается, скорость его изменения отрицательна: dN/dt = −λN. Минус здесь указывает на убывание, а не на отрицательное число ядер.
Решение этого соотношения даёт N(t) = N₀e^(−λt). Сначала ядер много, поэтому за одинаковое время распадается сравнительно много из них; позднее оставшихся ядер меньше и абсолютное убывание замедляется. При этом доля распадающихся за равные промежутки остаётся одинаковой, что и приводит к экспоненциальной зависимости.
Удобно выразить закон через период полураспада: N(t) = N₀·2^(−t/T₁/₂). Если время равно одному периоду, показатель равен −1 и остаётся половина ядер; через два периода остаётся четверть, через три — одна восьмая. Такая запись наглядно показывает последовательное уменьшение вдвое и позволяет считать остаток без вычисления экспоненты.
Активность A показывает, сколько распадов происходит за единицу времени. По определению A = −dN/dt, а из уравнения распада следует A = λN. Поскольку λ для данного радионуклида постоянна, активность изменяется пропорционально числу оставшихся ядер и тоже убывает экспоненциально. Её измеряют в беккерелях: 1 Бк соответствует одному распаду в секунду.
| Величина | Обозначение и смысл | Формула | Единица измерения |
|---|---|---|---|
| Число нераспавшихся ядер | N(t), число ядер к моменту t | N(t) = N₀e^(−λt) | ядер; величина безразмерная |
| Начальное число ядер | N₀, количество при t = 0 | N₀ = N(0) | ядер; величина безразмерная |
| Постоянная распада | λ, характеристика радионуклида | λ = ln 2 / T₁/₂ | с⁻¹ |
| Период полураспада | T₁/₂, время уменьшения числа ядер вдвое | T₁/₂ = ln 2 / λ | с, мин, ч, сутки и др. |
| Активность | A, число распадов за единицу времени | A = λN | Бк = с⁻¹ |
Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую формулу. Проверьте, что время выражено в единицах, согласованных с λ: например, для λ в с⁻¹ время должно быть в секундах. Если в задаче даны периоды полураспада, часто проще считать число таких периодов.
В образце было 8000 ядер; требуется найти, сколько останется после двух периодов. За каждый период число нераспавшихся ядер уменьшается вдвое. Удобно выполнить это уменьшение последовательно, чтобы не перепутать оставшиеся ядра с распавшимися.
Ответ: 2000 ядер.
Период полураспада равен 6 ч, нужно найти λ и долю нераспавшихся ядер через 18 ч. Время уже дано в часах, поэтому постоянную распада сначала удобно выразить в ч⁻¹. Число периодов равно отношению прошедшего времени к периоду полураспада.
Ответ: λ ≈ 0,116 ч⁻¹; доля нераспавшихся ядер равна 1/8, или 12,5%. Если требуется λ в с⁻¹, результат нужно перевести: 0,116 ч⁻¹ ≈ 3,22·10⁻⁵ с⁻¹.
За 12 суток активность уменьшилась в 8 раз. Поскольку активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер, она сокращается вдвое за каждый период полураспада. Уменьшение в 8 раз можно представить как несколько последовательных делений на два.
Ответ: период полураспада равен 4 суткам.
Считать, что за период полураспада распадаются все ядра, — значит принять название периода буквально. Такую ошибку допускают, забывая слово «половина»: оставшиеся ядра продолжают распадаться и задают следующий период. Проверьте расчёт: после одного периода должно остаться N₀/2, после двух — N₀/4.
Путать распавшиеся ядра с оставшимися легко, если не следить за смыслом N(t). Закон описывает именно те ядра, которые ещё не распались; число уже распавшихся равно N₀ − N(t). Перед подстановкой спросите себя, что именно просит задача, и проверьте, что число оставшихся не превышает начального.
Если потерять минус в показателе экспоненты или в уравнении dN/dt = −λN, получится рост числа ядер со временем. Ошибка возникает из-за невнимания к тому, что распад уменьшает исходное количество. Контроль прост: при λ > 0 и t > 0 показатель −λt отрицателен, поэтому N(t) должно быть меньше N₀.
Подставлять часы в формулу с λ в с⁻¹ нельзя без перевода единиц. Это приводит к неверному результату, потому что произведение λt в показателе экспоненты должно быть безразмерным. Сверьте единицы перед вычислением: секунды сочетаются с с⁻¹, часы — с ч⁻¹.
Для понимания распада нужны знания о строении атомного ядра, изотопах и самопроизвольных превращениях. Расчёты опираются на показательные функции и экспоненту, а вывод связи между λ и периодом полураспада — на логарифм; поэтому важно уверенно переводить единицы времени. Закон используют при определении возраста образцов, анализе радиоактивных источников и расчётах в ядерной физике.
Можно ли предсказать, когда распадётся отдельное ядро?
Нет, распад отдельного ядра происходит случайно, и точный момент заранее определить нельзя. Закон радиоактивного распада даёт статистический прогноз для большого количества ядер.
Что именно уменьшается вдвое за период полураспада?
Вдвое уменьшается среднее число ещё не распавшихся ядер по сравнению с его значением в начале периода. Это не означает, что за этот промежуток распадутся все ядра.
Почему закон радиоактивного распада имеет экспоненциальный вид?
За одинаковое малое время вероятность распада каждого оставшегося ядра примерно одинакова. Поэтому скорость уменьшения числа ядер пропорциональна их текущему числу, а такое изменение описывается экспонентой.
Как связаны период полураспада и постоянная распада?
Они связаны формулой T₁/₂ = ln 2 / λ. Чем больше постоянная распада λ, тем меньше период полураспада.
Как изменяется активность радиоактивного образца со временем?
Активность уменьшается вместе с числом нераспавшихся ядер по экспоненциальному закону. Через каждый период полураспада она становится вдвое меньше.
§ 53. Закон радиоактивного распада
