§ 76. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц или излучения. Самопроизвольность означает, что для распада не требуется внешнее воздействие. Это понятие описывает, какое ядерное превращение происходит в веществе.

Постоянная радиоактивного распада — вероятность распада ядра за единицу времени; её обозначают λ и измеряют в с⁻¹. Чем больше λ, тем быстрее в среднем распадается данный изотоп. Эта величина входит в формулу изменения числа ядер.

Период полураспада — время, за которое распадается половина исходного числа радиоактивных ядер; обозначается T₁/₂. Он характеризует скорость распада более наглядно: короткий период означает быстрое уменьшение количества ядер. Для каждого изотопа период полураспада имеет своё значение.

Активность — число радиоактивных распадов в единицу времени; обозначается A и измеряется в беккерелях, причём 1 Бк = 1 распад/с. Активность показывает, насколько интенсивно источник испускает излучение в данный момент. Она зависит от числа оставшихся ядер и постоянной распада.

Как это устроено

Момент распада отдельного ядра случаен: одинаковые ядра не имеют «расписания», по которому можно было бы определить точное время события. Однако вероятность распада за малый промежуток времени для каждого ядра одинакова и пропорциональна длительности этого промежутка. Поэтому для большого числа ядер случайные отклонения взаимно сглаживаются, и появляется точная статистическая закономерность.

За время dt число распавшихся ядер пропорционально их текущему количеству N и величине dt. Число нераспавшихся ядер при этом уменьшается, поэтому dN = −λNdt, или dN/dt = −λN. Решением этого уравнения является экспоненциальный закон N = N₀e⁻λᵗ: чем меньше ядер осталось, тем меньше распадов происходит за такой же промежуток времени.

Подставим в закон условие для периода полураспада: при t = T₁/₂ число ядер равно N₀/2. Получаем 1/2 = e⁻λT₁/₂, откуда T₁/₂ = ln 2/λ. Поэтому через каждый период полураспада остаётся половина имеющихся ядер: после 2T₁/₂ — 1/4 исходного количества, после 3T₁/₂ — 1/8.

Активность равна числу распадов за единицу времени, поэтому по уравнению распада её можно записать как A = λN. Для одного изотопа λ постоянно, значит активность изменяется так же, как число ядер: A = A₀e⁻λᵗ. При уменьшении количества ядер источник постепенно становится менее активным.

Чтобы найти оставшуюся долю вещества, достаточно вычислить N/N₀ = e⁻λᵗ или использовать число прошедших периодов полураспада: N/N₀ = 2⁻ᵗ/ᵀ¹⁄₂. Время находят логарифмированием: t = (1/λ)ln(N₀/N). Если известна доля f оставшихся ядер, то t = −ln f/λ; тот же подход применим к отношению активностей, поскольку A/A₀ = N/N₀.

Основные величины закона радиоактивного распада

В таблице собраны величины, которые встречаются в формулах закона распада. Сначала определите, что именно дано в условии, затем выберите связанную с этой величиной формулу. Следите, чтобы λ и t были выражены в согласованных единицах времени.

Разбор задач

Задача 1

В образце первоначально было N₀ радиоактивных ядер. Найдём число ядер через время t, если известны λ и N₀. Величины λ и t должны быть выражены в согласованных единицах, например с⁻¹ и с.

1. Записываем общий закон распада: N(t) = N₀e⁻λᵗ.
2. Подставляем известные значения N₀, λ и t в показатель экспоненты.
3. Проверяем результат: при t = 0 должно получаться N = N₀, а при t > 0 число N должно быть меньше N₀.

Ответ: число нераспавшихся ядер через время t равно N = N₀e⁻λᵗ. Если единицы времени не согласованы, сначала нужно перевести t или λ.

Задача 2

Период полураспада изотопа равен T₁/₂. Определим долю ядер, которая останется после 3T₁/₂, и активность образца. Каждый период число ядер уменьшается вдвое, а активность пропорциональна этому числу.

1. После первого периода остаётся 1/2, после второго — 1/4, после третьего — 1/8 исходного количества.
2. Следовательно, N = N₀/8.
3. Начальная активность равна A₀ = λN₀, поэтому через три периода A = λN₀/8 = A₀/8.

Ответ: остаётся 1/8, или 12,5% ядер; активность также становится равной одной восьмой начальной.

Задача 3

Активность археологического образца в k раз меньше активности современного образца того же изотопа. Найдём возраст находки по известному периоду полураспада T₁/₂. Поскольку образцы содержат один изотоп, отношение активностей равно отношению чисел нераспавшихся ядер.

1. Записываем отношение: A/A₀ = 1/k = e⁻λᵗ.
2. Логарифмируем: t = ln k/λ.
3. Заменяем λ формулой λ = ln 2/T₁/₂ и получаем t = T₁/₂ ln k/ln 2.

Ответ: возраст образца равен t = T₁/₂ ln k/ln 2. Чем больше уменьшилась активность, тем больше времени прошло.

Типичные ошибки

Путают число распавшихся и оставшихся ядер. Формула N = N₀e⁻λᵗ описывает именно нераспавшиеся ядра, а число распавшихся равно N₀ − N. Проверьте смысл результата: оставшихся ядер должно быть меньше N₀.

Считают, что за одинаковые промежутки распадается одинаковое число ядер. Постоянной является доля распадающихся ядер, а не их абсолютное количество. Сравните два последовательных периода полураспада: сначала исчезает 1/2 исходных ядер, затем только 1/4 исходных.

Используют T₁/₂ = 1/λ. Такая запись неверна, потому что из условия N/N₀ = 1/2 появляется множитель ln 2. Правильная формула — T₁/₂ = ln 2/λ; её можно проверить размерностями и подстановкой в закон распада.

Не согласуют единицы времени. Если λ задана в с⁻¹, время в показателе экспоненты должно быть выражено в секундах. Перед вычислением проверьте, что произведение λt безразмерно.

Связь с другими темами

Для вывода закона нужны показательная функция, натуральный логарифм, производная и смысл вероятности. Закон используют при расчёте активности источников и дозиметрии, где оценивают интенсивность радиоактивного излучения. Он также нужен для изучения ядерных превращений, цепочек распадов и радиоуглеродного датирования.

Что запомнить

• Радиоактивный распад отдельного ядра случаен, но распад большого числа ядер закономерен.
• Число нераспавшихся ядер убывает по экспоненциальному закону N = N₀e⁻λᵗ.
• Постоянная распада λ характеризует вероятность распада ядра за единицу времени.
• Период полураспада связан с постоянной распада формулой T₁/₂ = ln 2/λ.
• За один период полураспада остаётся половина исходных ядер.
• Активность равна A = λN и уменьшается по тому же экспоненциальному закону.
• Для определения времени распада используют натуральный логарифм.