Квантовая физика

Определения и обозначения

Квант света, или фотон, — отдельная порция электромагнитного излучения. Энергия фотона равна E = hν, где ν — частота света. Представление о фотонах нужно, чтобы описывать обмен энергией света с веществом, когда энергия передаётся не непрерывно, а порциями.

Постоянная Планка обозначается h; её значение приблизительно равно 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Она связывает энергию кванта с частотой в формуле E = hν. Благодаря этой постоянной можно перейти от волновой характеристики света — частоты — к энергии отдельного фотона.

Фотоэффект — явление вырывания электронов из вещества под действием света. Вылетевшие электроны называют фотоэлектронами. Изучая их движение и число, можно установить, как энергия световых квантов взаимодействует с веществом.

Длина волны де Бройля — длина волны, которую связывают с движущейся частицей: λ = h/p, где p — импульс частицы. Эта формула выражает волновые свойства частиц наряду с их привычными свойствами тел. Она помогает предсказывать волновые эффекты, например дифракцию электронов.

Как это устроено

При взаимодействии с веществом свет излучается и поглощается порциями, потому что энергия микросистемы передаётся определёнными квантами. Если бы энергия обменивалась непрерывно, фотоэффект не имел бы наблюдаемого порога по частоте. Квантовая модель объясняет этот порог: один электрон получает энергию от одного фотона, а не понемногу накапливает её от слабого непрерывного потока.

Энергия фотона прямо пропорциональна частоте: E = hν. Поэтому фиолетовый свет с большей частотой несёт более энергичные фотоны, чем красный. Интенсивность показывает, сколько энергии переносится всем потоком за единицу времени и площадь; при неизменной частоте её увеличение означает прежде всего большее число фотонов, а не большую энергию каждого.

Для фотоэффекта нужна частота не ниже пороговой: ниже неё фотоны не могут передать электрону энергию, достаточную для выхода из вещества. Минимальная частота называется красной границей фотоэффекта, хотя её значение зависит от материала. При превышении границы максимальная энергия вылетевших электронов растёт с частотой, а увеличение интенсивности обычно повышает число электронов, если каждый фотон способен вызвать их выход.

Эйнштейн применил к фотоэффекту закон сохранения энергии: hν = Aвых + Eк,max. Часть энергии фотона нужна, чтобы преодолеть связь электрона с веществом; эта минимальная затрата называется работой выхода Aвых. Остаток превращается в кинетическую энергию электрона, поэтому Eк,max = hν − Aвых. Если измерить задерживающее напряжение Uзад, то максимальная энергия связана с ним равенством Eк,max = eUзад.

Де Бройль распространил идею волновых свойств на частицы вещества и связал длину волны с импульсом формулой λ = h/p. У микрочастиц импульс сравнительно мал, поэтому их волна может иметь измеримую длину и проявляться в опытах. У привычных крупных тел импульс огромен, а длина волны столь мала, что волновые эффекты практически невозможно заметить.

Квантовые свойства света и частиц

В таблице удобно сначала определить, какая величина дана в задаче: частота света, энергия фотона или импульс частицы. Затем выбирают формулу, связывающую её с искомой величиной. Следите за единицами: энергию в джоулях следует сочетать с работой выхода в джоулях, а электронвольты предварительно перевести или оставить в согласованных единицах.

Разбор задач

Задача 1. Найти энергию фотона излучения с частотой 6,0·10¹⁴ Гц. Используем h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Поскольку задана частота одного вида излучения, энергия каждого его фотона определяется формулой E = hν.

1. Записываем формулу: E = hν.
2. Подставляем данные: E = 6,63·10⁻³⁴ · 6,0·10¹⁴ Дж.
3. Умножаем числа и складываем показатели степеней: E ≈ 3,98·10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: энергия фотона приблизительно равна 4,0·10⁻¹⁹ Дж. При вычислении важно, что частота задана в герцах, то есть в с⁻¹, а h — в Дж·с: результат получается в джоулях.

Задача 2. Работа выхода металла равна 2,0 эВ, частота света — 8,0·10¹⁴ Гц. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и задерживающее напряжение. Сначала сравним энергию фотона с работой выхода: если разность положительна, оставшаяся энергия станет кинетической.

1. Находим энергию фотона: E = hν = 6,63·10⁻³⁴ · 8,0·10¹⁴ ≈ 5,30·10⁻¹⁹ Дж.
2. Переводим в электронвольты: 1 эВ = 1,60·10⁻¹⁹ Дж, поэтому E ≈ 3,31 эВ. Она больше работы выхода, значит фотоэффект возможен.
3. По уравнению Эйнштейна Eк,max = 3,31 − 2,0 = 1,31 эВ. Поскольку 1 эВ соответствует энергии электрона при напряжении 1 В, Uзад ≈ 1,31 В.

Ответ: Eк,max ≈ 1,3 эВ, Uзад ≈ 1,3 В. Проверка состоит в том, что энергия фотона должна покрывать работу выхода, а задерживающее напряжение должно остановить наиболее быстрые фотоэлектроны.

Задача 3. Электрон ускорен напряжением 150 В. Найти его длину волны де Бройля. Сначала определяем приобретённую кинетическую энергию, затем импульс и только после этого применяем λ = h/p; скорость непосредственно вместо импульса подставлять нельзя.

1. Кинетическая энергия электрона: Eк = eU = 1,60·10⁻¹⁹ · 150 ≈ 2,40·10⁻¹⁷ Дж.
2. При нерелятивистском движении Eк = p²/(2m), поэтому p = √(2mEк) ≈ √(2 · 9,11·10⁻³¹ · 2,40·10⁻¹⁷) ≈ 6,61·10⁻²⁴ кг·м/с.
3. Находим длину волны: λ = h/p ≈ 6,63·10⁻³⁴/(6,61·10⁻²⁴) ≈ 1,00·10⁻¹⁰ м.

Ответ: λ ≈ 1,0·10⁻¹⁰ м. Такой порядок длины волны объясняет, почему волновые эффекты электронов можно исследовать на масштабах атомов.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что большая интенсивность увеличивает энергию каждого фотона. Её допускают, смешивая яркость всего потока с энергией одной порции света. Проверьте себя по формуле E = hν: если частота не изменилась, энергия фотона прежняя, а фотонов стало больше.

Работу выхода иногда принимают за энергию фотона. На самом деле Aвых — минимальная энергия, необходимая для освобождения электрона; при этом фотон может иметь и больший запас энергии. В уравнении Эйнштейна этот запас остаётся кинетической энергией: Eк,max = hν − Aвых.

Нельзя применять уравнение фотоэффекта, не проверив красную границу. Если hν меньше Aвых, электрон не вылетит даже при очень интенсивном освещении: каждый фотон по отдельности не преодолевает энергетический порог. Для проверки сначала сравните hν и Aвых, и лишь затем вычисляйте кинетическую энергию.

В формуле де Бройля иногда вместо импульса подставляют скорость. Причина ошибки — путаница между величинами, описывающими движение: импульс частицы равен p = mv в нерелятивистском случае. Убедитесь, что в λ = h/p подставлена величина с единицами кг·м/с, а не только скорость.

Связь с другими темами

Для решения задач по квантовой физике нужны связь частоты и длины волны света, понятия энергии и импульса, а также закон сохранения энергии. Эти знания позволяют переходить от характеристик излучения к энергии фотонов и объяснять движение фотоэлектронов. При расчётах также важно следить за единицами измерения.

Квантовые представления применяются при изучении строения атома и спектров излучения и поглощения: взаимодействие света с атомами происходит порциями энергии. Они также лежат в основе работы полупроводниковых приборов, где свет и электроны влияют на электрические свойства вещества. Поэтому идеи фотона и фотоэффекта связывают оптику с атомной физикой и электроникой.

Что запомнить

• Энергия фотона равна E = hν.
• Импульс фотона связан с энергией соотношением p = E/c.
• Энергия фотоэлектрона зависит от частоты света, а число фотоэлектронов — от интенсивности.
• Уравнение фотоэффекта: hν = Aвых + Eк,max.
• Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода.
• Длина волны де Бройля равна λ = h/p.