8. Корпускулярно-волновой дуализм

Определения и обозначения

Фотон — квант электромагнитного излучения, то есть отдельная порция энергии света. Его энергия E = hν, а импульс p = h/λ, где h — постоянная Планка, ν — частота, λ — длина волны. Эти формулы нужны, чтобы описывать свет не только как волну, но и как поток частиц.

Корпускулярно-волновой дуализм — свойство объектов микромира проявлять в разных опытах волновые и корпускулярные свойства. Корпускулярными называют свойства частиц, например перенос энергии и импульса, а волновыми — интерференцию и дифракцию. Понятие помогает не выбирать одну модель навсегда, а связывать результат с конкретным экспериментом.

Длина волны де Бройля — длина волны, связанная с частицей, имеющей импульс p, по формуле λ = h/p. Чем больше импульс, тем меньше соответствующая длина волны. Формула нужна для оценки, могут ли частицы заметно дифрагировать на препятствиях или кристаллической решётке.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта — закон сохранения энергии при поглощении фотона электроном: hν = Aвых + Eк. Здесь Aвых — работа выхода, а Eк — кинетическая энергия вылетевшего электрона. С помощью уравнения находят условие фотоэффекта и энергию электронов.

Как это устроено

Наблюдения фотоэффекта показали, что свет передаёт энергию не непрерывно, а отдельными порциями. Одна такая порция — фотон с энергией hν, поэтому при увеличении частоты энергия каждого поглощённого фотона возрастает. Именно поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов определяется частотой света, а не только его интенсивностью.

При поглощении фотона электрон сначала должен покинуть вещество, на что затрачивается работа выхода. Оставшаяся энергия превращается в кинетическую: hν = Aвых + Eк. Если энергия фотона меньше работы выхода, электрон не выйдет даже при очень ярком освещении, поэтому существует красная граница νкр: на ней Eк = 0 и Aвых = hνкр.

Свет проявляет волновые свойства, когда разные участки волны складываются или огибают препятствия: так возникают интерференция и дифракция. Корпускулярный характер обнаруживается при взаимодействии света с отдельными электронами, например в фотоэффекте. Эти описания не противоречат друг другу, потому что разные установки выявляют разные стороны одного квантового объекта.

Де Бройль предположил, что волновые свойства присущи не только свету, но и частицам вещества. Частице с импульсом p соответствует длина волны λ = h/p, поэтому при малом импульсе λ становится больше и её легче сравнить с размером щели или расстоянием между атомами. У обычных макроскопических тел импульс велик, а длина волны ничтожно мала.

Дифракция электронов на кристалле подтверждает, что электрон способен вести себя как волна. Однако при попадании на экран каждый электрон регистрируется в определённой точке, то есть проявляется как локализованная частица. При накоплении множества таких попаданий возникает дифракционная картина, объединяющая оба описания.

Корпускулярные и волновые проявления микрочастиц

Сначала определите объект и опыт, затем найдите, какое свойство в нём проявляется. Формулы в последнем столбце связывают наблюдаемый результат с количественными характеристиками объекта. Таблица не разделяет микрочастицы на «только волны» и «только частицы»: один объект может проявлять оба типа свойств.

Разбор задач

1. Красная граница фотоэффекта

Красной границе соответствует частота νкр. Требуется найти условие фотоэффекта и работу выхода, поэтому нужно рассмотреть предельный случай, когда электрон только покидает металл и не получает кинетической энергии.

1. Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода: hν ≥ Aвых, или ν ≥ νкр.
2. На границе ν = νкр и Eк = 0, поэтому уравнение Эйнштейна принимает вид hνкр = Aвых.
3. Следовательно, работа выхода равна Aвых = hνкр.

Ответ: фотоэффект возможен при ν ≥ νкр; Aвых = hνкр.

2. Энергия и импульс фотона

Фотон имеет длину волны λ. Чтобы найти его характеристики, сначала выразим частоту через скорость света и длину волны, а затем подставим её в формулу энергии.

1. Связь частоты и длины волны: ν = c/λ.
2. Энергия фотона: E = hν = hc/λ.
3. Импульс фотона можно найти как p = E/c, поэтому p = h/λ.

Ответ: E = hc/λ, p = h/λ.

3. Электрон после разгона

Электрон разгоняется напряжением U и затем попадает на кристалл. Сначала найдём его импульс из энергии разгона, затем вычислим длину волны и сравним её с межатомными расстояниями.

1. В нерелятивистском случае энергия разгона равна кинетической энергии: eU = p²/(2m).
2. Отсюда p = √(2meU).
3. По формуле де Бройля λ = h/p получаем λ = h/√(2meU). Если эта длина сравнима с расстоянием между атомами кристалла, возникает заметная дифракция.

Ответ: λ = h/√(2meU); дифракция возможна из-за сравнимости длины волны электрона с периодом кристаллической решётки.

Типичные ошибки

Энергия фотона не зависит от частоты. Это неверно: из формулы E = hν следует прямая пропорциональность энергии частоте. Проверьте себя, подставив две разные частоты: большему ν должна соответствовать большая энергия.

Работа выхода равна кинетической энергии электрона. Работа выхода — энергия на покидание вещества, а кинетическая энергия остаётся после этого из общей энергии фотона. Проверка проста: в уравнении Эйнштейна эти величины складываются, hν = Aвых + Eк.

В формулу λ = h/p подставляют скорость вместо импульса. Скорость и импульс связаны, но не тождественны: для медленной частицы p = mv. Сначала найдите p из условия задачи, а затем используйте формулу де Бройля.

Волновые и корпускулярные свойства считают взаимоисключающими. Один и тот же объект может давать дифракционную картину и регистрироваться отдельными попаданиями. Проверяйте не «тип» объекта, а условия опыта и наблюдаемый результат.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны частота, длина волны и скорость света, а также законы сохранения энергии и импульса. Эти знания позволяют переходить между волновым описанием и характеристиками фотона или частицы.

Фотоэффект связывает корпускулярные свойства света с квантовой физикой и работой фотодатчиков. Длина волны де Бройля лежит в основе электронной микроскопии и помогает понять идеи квантовой механики.

Что запомнить

• Энергия фотона равна E = hν.
• Импульс фотона равен p = h/λ.
• Фотоэффект подчиняется уравнению hν = Aвых + Eк.
• Красная граница фотоэффекта определяется работой выхода вещества.
• Длина волны де Бройля равна λ = h/p.
• Дифракция электронов подтверждает волновые свойства частиц вещества.