1. Зависимость давления жидкости от глубины

Определения и обозначения

Давление жидкости — сила, с которой жидкость действует на единицу площади поверхности. Его обозначают буквой p и измеряют в паскалях (Па). Это понятие позволяет сравнивать действие жидкости на дно, стенки сосуда или погружённое тело.

Гидростатическое давление — давление, создаваемое покоящейся жидкостью вследствие действия силы тяжести. Оно появляется даже тогда, когда жидкость не движется. Именно его изменение с глубиной описывает формула p = ρgh.

Плотность жидкости — масса единицы её объёма. Плотность обозначают ρ и измеряют в кг/м³. Она показывает, насколько тяжёлым будет столб жидкости заданного объёма, поэтому влияет на создаваемое им давление.

Глубина — расстояние по вертикали от свободной поверхности жидкости до рассматриваемой точки. Её обозначают h и измеряют в метрах. Чем больше это расстояние, тем выше столб жидкости над точкой и тем сильнее его действие.

Как это устроено

Представим площадку площадью S на глубине h и столб жидкости над ней. Если плотность жидкости равна ρ, а площадь столба постоянна, его объём равен V = Sh, а масса — m = ρV = ρSh. Вес этого столба F = mg = ρShg действует на площадку и создаёт давление.

По определению давления p = F/S. Подставляя силу тяжести столба, получаем p = ρShg/S = ρgh: площадь сокращается, поэтому она не входит в итоговую формулу. Так видно, что давление определяется весом жидкости над площадкой, а не площадью самой площадки.

При неизменных ρ и g формула превращается в зависимость p = (ρg)h. Коэффициент ρg постоянен, поэтому увеличение глубины в два раза вызывает увеличение гидростатического давления также в два раза. Например, на глубине 6 м оно вдвое больше, чем на глубине 3 м.

В однородной покоящейся жидкости точки на одинаковой глубине испытывают одинаковое давление, потому что над ними находятся столбы жидкости одинаковой высоты и плотности. Форма сосуда при этом не меняет давление: узкий, широкий или изогнутый сосуд даёт одно и то же значение на заданной глубине. Различаться может общий вес жидкости, но не давление в точке.

Формула p = ρgh описывает давление самого столба жидкости, то есть гидростатическую часть. Если свободная поверхность открыта и на неё действует атмосферное давление pатм, оно передаётся жидкости. Тогда полное давление на глубине h равно pполное = pатм + ρgh.

От чего зависит давление покоящейся жидкости

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите в условии известные величины и приведите их к единицам СИ. Затем подставьте их в формулу p = ρgh или выразите неизвестную величину. Атмосферное давление добавляют только тогда, когда требуется найти полное, а не гидростатическое давление.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найдите гидростатическое давление воды на глубине 2 м, если ρ = 1000 кг/м³ и g = 9,8 м/с². Глубина уже дана в метрах, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Записываем формулу: p = ρgh.
2. Подставляем значения: p = 1000 · 9,8 · 2 = 19 600 Па.
3. Проверяем единицы: (кг/м³) · (м/с²) · м = кг/(м·с²) = Па.

Ответ: гидростатическое давление равно 19 600 Па, или 19,6 кПа.

Задача 2

Условие: на какой глубине в керосине плотностью 800 кг/м³ гидростатическое давление равно 15 680 Па? Примем g = 9,8 м/с². Неизвестна глубина, поэтому её нужно выразить из основной формулы.

1. Из p = ρgh получаем h = p/(ρg).
2. Подставляем данные: h = 15 680/(800 · 9,8) = 15 680/7840 = 2 м.
3. Проверяем: 800 кг/м³ · 9,8 м/с² · 2 м = 15 680 Па.

Ответ: глубина равна 2 м.

Задача 3

Условие: сравните давление на глубине 3 м в воде и в жидкости плотностью 1200 кг/м³. Найдите разность при g = 10 м/с². Здесь глубина и ускорение одинаковы, поэтому можно вычислить оба значения отдельно.

1. Для воды: p₁ = 1000 · 10 · 3 = 30 000 Па.
2. Для второй жидкости: p₂ = 1200 · 10 · 3 = 36 000 Па.
3. Разность равна p₂ − p₁ = 36 000 − 30 000 = 6000 Па. Более плотная жидкость создаёт большее давление.

Ответ: давление в жидкости плотностью 1200 кг/м³ больше на 6000 Па.

Типичные ошибки

Глубину подставляют в сантиметрах. Так происходит, когда забывают, что в СИ глубина измеряется в метрах. Перед вычислением переведите, например, 30 см в 0,3 м и проверьте единицы всех величин.

Считают, что давление зависит от формы или ширины сосуда. На это наводит разный объём жидкости в сосудах, но в формуле p = ρgh таких величин нет. Сравните глубину, плотность и g: если они одинаковы, давление одинаково.

Путают гидростатическое и полное давление. Гидростатическое давление равно только ρgh, а атмосферное давление действует дополнительно на открытую поверхность. Внимательно прочитайте, требуется ли давление столба жидкости или полное давление.

Считают, что давление направлено только вниз. Вес столба объясняет вертикальную составляющую, но покоящаяся жидкость давит на дно и стенки во всех направлениях. Проверить это можно по формуле и по условию задачи: направление действия давления не меняет его значения на одной глубине.

Связь с другими темами

Для изучения зависимости давления от глубины нужны определение давления p = F/S, понятия силы тяжести и плотности. Они позволяют перейти от веса столба жидкости к формуле p = ρgh и правильно определить единицы величин.

Эта зависимость используется при изучении закона Паскаля, сообщающихся сосудов и выталкивающей силы. В каждом случае важно учитывать, как давление передаётся жидкостью и как меняется с глубиной.

Что запомнить

• Гидростатическое давление покоящейся жидкости на глубине h равно p = ρgh.
• Чем больше глубина, тем больше давление.
• При прочих равных давление пропорционально плотности жидкости.
• На одной глубине в однородной покоящейся жидкости давление одинаково.
• Форма сосуда не определяет гидростатическое давление.
• Если учитывать давление атмосферы на поверхность, полное давление равно pатм + ρgh.