1. Зависимость давления жидкости от глубины

Определения и обозначения

Давление жидкости — сила, с которой жидкость действует на единицу площади поверхности; его обозначают p и измеряют в паскалях (Па). Иначе говоря, при одинаковой силе на меньшую площадь приходится большее давление. Это понятие позволяет сравнивать действие жидкости на дно, стенки и погружённые предметы.

Гидростатическое давление — давление покоящейся жидкости, создаваемое весом столба жидкости над рассматриваемой точкой. Оно не включает возможное внешнее давление на поверхность жидкости. Такое различие помогает понять, какую именно величину нужно находить в задаче.

Глубина — расстояние от свободной поверхности жидкости до рассматриваемой точки; её обозначают h. Свободная поверхность — граница жидкости с воздухом или другой средой. Глубина нужна, чтобы определить высоту столба жидкости, давящего на точку.

Плотность жидкости — масса единицы её объёма; обозначается ρ и измеряется в кг/м³. Чем плотнее жидкость, тем больше масса столба такого же объёма и тем сильнее его вес. Поэтому плотность входит в формулу гидростатического давления наряду с глубиной.

Как это устроено

Представим столб жидкости прямо над точкой: его высота равна глубине h, а площадь основания — S. Для простоты считаем жидкость однородной, поэтому плотность во всём столбе одинакова. Объём столба равен произведению площади основания на высоту: V = Sh; тогда его масса m = ρV = ρSh. Вес столба равен mg = ρShg.

Давление — это сила, делённая на площадь, поэтому для столба над площадкой получаем p = F/S. Силой здесь служит вес жидкости: F = ρShg. После деления на S площадь сокращается, и остаётся p = ρgh. Множитель g нужен потому, что давление создаёт не сама масса, а вес столба в поле тяжести.

При неизменных плотности и g формула показывает прямую пропорциональность давления глубине: если h увеличить вдвое, гидростатическое давление тоже удвоится. Форма сосуда в вывод не вошла, потому что площадь основания сократилась. Поэтому на одной глубине в одной и той же жидкости давление одинаково в узком и широком сосуде, хотя объём жидкости над точками может различаться.

Формула p = ρgh задаёт именно гидростатическое давление — добавку, создаваемую столбом жидкости. Если на свободную поверхность уже действует давление p₀, оно передаётся жидкости, и полное давление на глубине равно p = p₀ + ρgh. В открытом сосуде p₀ обычно является атмосферным давлением; если ищут только разность давлений между точкой и поверхностью, достаточно ρgh.

Жидкость в покое не может поддерживать касательное напряжение: при его появлении слои начали бы двигаться. Поэтому давление действует перпендикулярно площадке, на которую давит жидкость. Если бы на одном уровне одной связной жидкости давление различалось, жидкость перемещалась бы от области большего давления к области меньшего, пока равновесие не установилось.

Как это устроено

Давление жидкости на глубине

В таблице гидростатическое давление означает добавку от столба жидкости, а полное включает ещё и давление на поверхности. Сначала выберите нужный вид давления, затем подставьте глубину, плотность и, если требуется, p₀. Это помогает не прибавлять атмосферное давление там, где спрашивают только гидростатическое.

Разбор задач

Задача 1. Определим гидростатическое давление воды на глубине 2 м, если ρ = 1000 кг/м³, g = 10 Н/кг. Здесь требуется только давление от столба воды, поэтому атмосферное давление не добавляем. Подставим данные в формулу и проверим единицы.

1. Записываем формулу: p = ρgh.
2. Подставляем значения: p = 1000 · 10 · 2 = 20 000 Па.
3. Проверяем размерность: кг/м³ · Н/кг · м = Н/м² = Па.

Ответ: 20 000 Па, или 20 кПа.

Задача 2. Найдём глубину в керосине плотностью 800 кг/м³, на которой давление равно давлению воды на глубине 4 м. Сравниваем гидростатические давления, поэтому для обеих жидкостей используем выражение ρgh. Ускорение свободного падения одинаково и сокращается.

1. Обозначим искомую глубину керосина h₂, а для воды возьмём ρ₁ = 1000 кг/м³ и h₁ = 4 м.
2. Приравниваем давления: ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂, откуда h₂ = ρ₁h₁/ρ₂.
3. Подставляем: h₂ = 1000 · 4 / 800 = 5 м.

Ответ: 5 м. В менее плотном керосине для такого же давления нужен более высокий столб.

Задача 3. Рассчитаем силу давления воды на горизонтальную площадку площадью 0,5 м² на глубине 6 м. Возьмём плотность воды 1000 кг/м³ и g = 10 Н/кг. Сначала найдём гидростатическое давление, а затем переведём его в силу с помощью площади.

1. Находим давление: p = ρgh = 1000 · 10 · 6 = 60 000 Па.
2. Используем F = pS: F = 60 000 · 0,5 = 30 000 Н.
3. Проверяем, что площадь выражена в м², а сила получилась в ньютонах.

Ответ: 30 000 Н. Если условие требует полную силу с учётом атмосферного давления, его нужно добавить к p до вычисления F.

Типичные ошибки

В формулу подставляют расстояние от точки до дна вместо глубины от свободной поверхности. Так происходит, когда высоту столба путают с положением точки в сосуде; если точка находится выше дна, такой отсчёт занижает давление. Проверьте себя: отметьте поверхность и измерьте расстояние именно от неё вниз до точки.

Иногда забывают множитель g или подставляют массу жидкости вместо плотности. Причина в том, что формулу запоминают без вывода и не замечают: давление создаёт вес столба, а масса столба находится как ρSh. Проверка единиц помогает обнаружить ошибку: результат должен иметь размерность Па, а без g она не получится.

Считают, что давление зависит от ширины или формы сосуда. Объём и вес жидкости действительно могут быть разными, поэтому эта ошибка кажется убедительной; однако при выводе площади основания сокращаются. Сравните значения ρ и h: если они одинаковы, то и гидростатическое давление одинаково.

Гидростатическое давление смешивают с полным и не учитывают давление на свободную поверхность. Ошибку допускают, когда не уточняют, какую величину спрашивают: «избыточное» или «полное» давление. Проверьте формулировку задачи: для ρgh поверхность принимают за нулевой уровень отсчёта давления, а для полного значения добавляют p₀.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны знания о плотности, силе тяжести и весе тела, а также о давлении твёрдого тела и единицах измерения. Зависимость давления от глубины помогает объяснить работу сообщающихся сосудов, гидравлических машин и манометров. Она связана и с выталкивающей силой: давление на нижнюю поверхность погружённого тела больше, чем на верхнюю, поэтому возникает сила Архимеда.

Что запомнить

• Гидростатическое давление жидкости на глубине h равно ρgh.
• Давление увеличивается с глубиной.
• При одинаковой глубине давление больше в жидкости с большей плотностью.
• Гидростатическое давление не зависит от формы сосуда.
• Полное давление равно сумме давления на свободной поверхности и гидростатического давления.
• Давление в покоящейся жидкости действует перпендикулярно поверхности.
• На одной глубине в одной неподвижной жидкости давление одинаково.