§ 7. Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Определения и обозначения

Самоиндукция — возникновение ЭДС в проводящем контуре при изменении силы тока в этом же контуре. Ток создаёт магнитное поле, поэтому его изменение меняет магнитный поток через собственный контур. Это понятие нужно, чтобы объяснять, почему катушка влияет на изменение тока в своей цепи.

ЭДС самоиндукции — ЭДС, возникающая из-за изменения собственного магнитного потока; её направление препятствует изменению тока. ЭДС (электродвижущая сила) здесь характеризует действие, которое вызывает движение зарядов. Это определение помогает понять, почему катушка мешает току быстро возрастать или убывать.

Индуктивность — физическая величина, характеризующая способность цепи создавать магнитный поток при прохождении тока; её обозначают L и измеряют в генри (Гн). Чем больше индуктивность, тем сильнее проявляется самоиндукция при одинаковой скорости изменения тока. Поэтому L позволяет сравнивать катушки по их влиянию на ток.

Энергия магнитного поля — энергия, запасённая магнитным полем катушки с током; для линейной катушки она определяется формулой W = LI²/2. Здесь W — энергия, L — индуктивность, I — сила тока. Формула нужна, чтобы вычислить запас энергии и проследить, куда она передаётся при изменении тока.

Как это устроено

Когда по катушке течёт ток, движущиеся заряды создают вокруг неё магнитное поле. Если сила тока меняется, меняется и магнитная индукция этого поля, а вместе с ней — магнитный поток через витки катушки. Поскольку контур находится в собственном меняющемся поле, в нём возникает ЭДС индукции. Именно так изменение тока порождает самоиндукцию.

Закон электромагнитной индукции связывает ЭДС с тем, как быстро меняется магнитный поток. Для катушки при неизменной индуктивности потокосцепление пропорционально току, поэтому закон принимает вид ε = −L·ΔI/Δt. Знак минус — математическая запись правила Ленца: ЭДС направлена так, чтобы противодействовать изменению, вызвавшему её. При росте тока она препятствует росту, а при убывании стремится поддержать ток.

Индуктивность зависит от устройства катушки: увеличение числа витков обычно усиливает суммарный магнитный поток, а размеры и форма определяют, как поле распределяется в пространстве. Важны также магнитные свойства материала внутри катушки. Сердечник с подходящими свойствами может усилить поле и увеличить индуктивность. Следовательно, L характеризует не только материал провода, но и всю конструкцию катушки.

При постоянной индуктивности магнитный поток, сцепленный с катушкой, пропорционален току. Увеличение тока усиливает поле и поток, а уменьшение ослабляет их; поэтому изменение потока можно выразить через изменение I. В выбранной системе обозначений потокосцепление равно LI, и его подстановка в закон индукции даёт формулу ЭДС самоиндукции. Чем больше L, тем больше изменение потока при том же изменении тока.

При увеличении тока источник должен преодолевать ЭДС самоиндукции, которая препятствует этому изменению. Источник совершает работу, и при отсутствии потерь она запасается в магнитном поле катушки; расчёт этой работы приводит к выражению W = LI²/2. Если ток уменьшается, поле ослабевает и запасённая энергия возвращается в цепь. В реальной цепи часть энергии может перейти в тепло или другие формы, но закон сохранения энергии выполняется.

Самоиндукция и энергия магнитного поля

Для расчёта модуля ЭДС используйте скорость изменения тока, а знак выбирайте по направлению изменения и правилу Ленца. Для энергии подставляйте индуктивность и ток в тот момент, который указан в условии. Следите за единицами: ток — в амперах, время — в секундах, индуктивность — в генри.

Разбор задач

Задача 1. Индуктивность катушки равна 0,4 Гн. Сила тока увеличилась от 2 до 5 А за 0,1 с. Найти модуль ЭДС самоиндукции. Известны L, начальный и конечный токи и промежуток времени. Поскольку требуется модуль, направление ЭДС для вычисления не нужно.

1. Находим изменение тока: ΔI = 5 − 2 = 3 А.
2. Используем |ε| = L·|ΔI|/Δt: |ε| = 0,4·3/0,1 = 12 В.

Ответ: модуль ЭДС самоиндукции равен 12 В. Ток растёт, поэтому сама ЭДС направлена против его роста. При этом её модуль определяется тем, насколько быстро меняется ток.

Задача 2. Через катушку индуктивностью 0,8 Гн проходит ток 3 А. Нужно найти энергию её магнитного поля. В этой задаче ток уже задан в нужный момент, поэтому вычислять его изменение не требуется. Используем формулу энергии катушки.

1. Записываем W = LI²/2, где L = 0,8 Гн, I = 3 А.
2. Возводим ток в квадрат и подставляем: W = 0,8·3²/2 = 0,8·9/2 = 3,6 Дж.

Ответ: энергия магнитного поля равна 3,6 Дж. Квадрат тока принципиален: при увеличении тока в два раза энергия при неизменной индуктивности возрастает в четыре раза. Поэтому пропускать возведение в квадрат нельзя.

Задача 3. Катушка индуктивностью 0,6 Гн соединена с цепью. Ток равномерно уменьшился от 5 А до нуля за 0,15 с. Найти ЭДС самоиндукции и энергию, выделившуюся при исчезновении магнитного поля. Сначала найдём модуль ЭДС по изменению тока за время. Затем вычислим начальную энергию поля, которая при исчезновении тока передаётся цепи.

1. Изменение тока равно ΔI = 0 − 5 = −5 А, поэтому |ε| = 0,6·5/0,15 = 20 В.
2. Начальный ток равен 5 А, значит W = 0,6·5²/2 = 7,5 Дж.
3. При исчезновении магнитного поля запасённая энергия передаётся цепи; в идеальном случае она целиком выделяется в ней.

Ответ: модуль ЭДС самоиндукции равен 20 В, энергия — 7,5 Дж. Так как ток уменьшается, ЭДС направлена так, чтобы поддержать его. Если в цепи есть потери, энергия может распределиться между нагреванием и другими процессами.

Типичные ошибки

• Игнорируют знак минус и считают, что ЭДС самоиндукции всегда направлена против тока. Ошибка возникает из-за смешения понятий «против тока» и «против изменения тока». Проверьте направление изменения: при росте ЭДС мешает росту, а при убывании поддерживает ток.

• Подставляют в формулу ЭДС конечный или начальный ток вместо его изменения. Обычно так делают, когда забывают, что закон зависит от скорости изменения величины. Сначала вычислите ΔI = I₂ − I₁, а затем разделите модуль изменения на промежуток времени.

• Путают единицы индуктивности: 1 Гн = 1 В·с/А. Миллигенри и микрогенри не равны генри: 1 мГн = 10⁻³ Гн, 1 мкГн = 10⁻⁶ Гн. Перед вычислением приведите L к генри и убедитесь, что время задано в секундах.

• Используют W = LI²/2 без квадрата или подставляют ток не в тот момент. В первом случае теряется зависимость энергии от квадрата тока, во втором получается энергия для другого состояния катушки. Проверьте степень у I и выберите ток, соответствующий моменту, о котором спрашивают.

Связь с другими темами

Для понимания самоиндукции нужны закон электромагнитной индукции, правило Ленца, магнитный поток, сила тока и работа электрического тока. Эти знания объясняют происхождение ЭДС и превращение работы источника в энергию магнитного поля. Позже индуктивность понадобится при изучении цепей переменного тока, колебательных контуров и трансформаторов. Она также важна для описания переходных процессов, когда ток в цепи с катушкой устанавливается или изменяется.

Что запомнить

• Самоиндукция возникает при изменении тока в том же контуре.
• ЭДС самоиндукции противодействует изменению силы тока.
• При постоянной индуктивности ε = −L·ΔI/Δt.
• Индуктивность измеряется в генри и зависит от устройства катушки и сердечника.
• Энергия магнитного поля катушки W = LI²/2.
• Энергия магнитного поля увеличивается с квадратом силы тока.
• При уменьшении тока энергия магнитного поля возвращается в электрическую цепь.