29. Реактивное движение

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. При выбросе изменяется импульс тела, а импульс отделившейся части направлен иначе. Если внешним воздействием можно пренебречь, импульсы частей системы компенсируют друг друга. Это определение помогает объяснить движение без опоры на окружающую среду.

Реактивная сила — сила, с которой отделяющееся вещество действует на тело. Она возникает при выбросе вещества и направлена противоположно его движению относительно тела. Например, вытекающие назад газы действуют на ракету вперёд. Эта сила изменяет импульс и скорость ракеты.

Ракета — тело, которое движется за счёт выброса продуктов сгорания топлива. Топливо и окислитель ракета несёт с собой, поэтому горение может происходить и без окружающего воздуха. Ракета получает движение благодаря обмену импульсами с газами. Это позволяет запускать её в безвоздушном пространстве.

Скорость истечения газов — скорость, с которой продукты сгорания выбрасываются из ракеты, отсчитанная относительно ракеты. Её обычно обозначают u. Это не обязательно скорость газов относительно Земли: ракета сама движется, и при переходе к другой системе отсчёта скорость изменится. В расчётах важно использовать именно ту систему отсчёта, которая указана в условии.

Как это устроено

Представим, что неподвижное тело распадается на две части. До разделения его импульс равен нулю, а после разделения части получают импульсы в противоположных направлениях. Если внешние силы не успели заметно изменить движение, общий импульс остаётся прежним: p₁ + p₂ = 0. Поэтому отделившаяся часть уносит импульс, а оставшееся тело приобретает равный по модулю и противоположный импульс.

Чтобы применить этот вывод к ракете, в систему включают саму ракету и выбрасываемые газы. Тогда силы двигателя между ракетой и газами являются внутренними: они действуют на части системы, но не меняют её общий импульс. При отсутствии существенного внешнего воздействия закон сохранения импульса связывает состояние системы до выброса и после него. Если учитывать только ракету, часть импульса окажется за границей выбранной системы, и сохранение её импульса использовать нельзя.

Газы выходят из сопла в одном направлении и уносят импульс. Чтобы суммарный импульс системы сохранился, ракета получает импульс в противоположную сторону; это следует из векторного равенства, а не из отталкивания от воздуха. Пока двигатель непрерывно выбрасывает газы, реактивная сила продолжает менять импульс ракеты. Если масса ракеты и направление тяги подходят для такого рассмотрения, изменение импульса означает ускорение.

В космосе ракета не опирается на воздух, потому что источником её движения служит не внешняя среда, а выбрасываемое вещество. Топливо сгорает внутри двигателя, образуя газы, которые затем ускоряются и выходят из сопла. Ракета и газы взаимодействуют друг с другом и получают противоположные импульсы. Именно поэтому двигатель способен создавать тягу и в вакууме.

Изменение скорости зависит от скорости истечения газов и от того, насколько меняется масса ракеты. Для небольшой порции газа можно сравнить противоположные импульсы, а при непрерывном выбросе учитывают постепенное уменьшение массы. Если скорость истечения u постоянна, а внешними силами можно пренебречь, изменение скорости описывает формула Циолковского: Δv = u ln(m₀/m₁). Здесь m₀ — начальная масса ракеты, а m₁ — конечная; чем больше отношение m₀/m₁, тем больше возможный прирост скорости.

Реактивное движение и закон сохранения импульса

Сравнивайте направления импульсов и проверяйте, какие части входят в рассматриваемую систему. В строке «Какие величины учитывать» указаны характеристики, нужные для применения закона сохранения импульса. Таблица помогает увидеть, что движение ракеты и газов связано, а не описывается независимо.

Разбор задач

Задача 1. Небольшая тележка покоится и выбрасывает груз в горизонтальном направлении. Требуется определить, куда начнёт двигаться тележка. Числовые значения не нужны: до выброса суммарный импульс тележки с грузом равен нулю. Считаем внешним воздействием за время выброса можно пренебречь.

1. Выберем систему «тележка и груз» и применим закон сохранения импульса.
2. После выброса импульс груза направлен по направлению выброса, а сумма импульсов должна по-прежнему равняться нулю.
3. Значит, тележка получает импульс в противоположную сторону; если груз выброшен вправо, тележка движется влево.

Ответ: тележка движется противоположно выброшенному грузу. Такой вывод верен независимо от того, в какую сторону направлен выброс. Его основание — сохранение полного импульса системы.

Задача 2. Ракета массой M выбрасывает порцию газа массой m со скоростью u относительно ракеты. Нужно найти изменение скорости ракеты, считая её массу постоянной в течение короткого выброса. Примем, что до выброса ракета покоилась и внешним воздействием можно пренебречь. Ось направим по движению ракеты после выброса.

1. До выброса общий импульс равен нулю, а после выброса импульсы ракеты и газа должны компенсировать друг друга.
2. Если газ летит назад, его импульс равен −mu, а импульс ракеты равен MΔv.
3. Из MΔv − mu = 0 получаем Δv = mu/M; направление изменения скорости противоположно движению газов.

Ответ: по модулю Δv = mu/M. Если ракета до выброса уже двигалась, в уравнение нужно включить её начальный импульс. При заметном изменении скорости самой ракеты скорость газа относительно Земли нельзя без поправки приравнивать к скорости истечения относительно ракеты.

Задача 3. Ракета имеет начальную массу m₀ и после выброса топлива массу m₁. Скорость истечения газов u постоянна, а внешними силами можно пренебречь. Требуется найти изменение скорости ракеты. В отличие от предыдущей задачи, масса здесь меняется в течение длительного выброса, поэтому одну порцию газа рассматривать недостаточно.

1. Проверим, что скорость истечения задана относительно ракеты, и применим формулу Циолковского для непрерывного истечения.
2. Подставим начальную массу m₀, конечную массу m₁ и постоянную скорость истечения u в выражение Δv = u ln(m₀/m₁).
3. Поскольку m₀ больше m₁, отношение m₀/m₁ больше единицы, а логарифм положителен; ракета получает прирост скорости по направлению тяги.

Ответ: Δv = u ln(m₀/m₁). Чем больше u или отношение начальной массы к конечной, тем больше прирост скорости. Формула применима при принятых условиях: постоянной скорости истечения и пренебрежимо малом внешнем воздействии.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что ракета отталкивается от воздуха. Так думают, потому что в обычной жизни движение часто связано с опорой или сопротивлением среды. Но ракетная тяга возникает при выбросе газов, а не при давлении воздуха снаружи. Проверьте рассуждение вопросом: останется ли выброс вещества, если вокруг ракеты вакуум?

Нельзя сохранять импульс только ракеты, забыв о газах. Её импульс изменяется именно потому, что газы получают импульс в результате взаимодействия с ней. Ошибку допускают, когда систему выбирают слишком узко. Для проверки явно перечислите все части системы, к которым применяете закон сохранения импульса.

Если записать импульсы ракеты и газов с одинаковыми знаками, получится неверное направление скорости. Причина — при расчётах иногда учитывают только величины импульсов, хотя это векторы. Выберите ось и поставьте противоположным направлениям противоположные знаки. После решения проверьте: ракета должна двигаться не в ту сторону, куда уходят газы.

Скорость газов относительно Земли не всегда равна скорости их истечения относительно ракеты. Эту подмену легко сделать, если в условии не уточнить систему отсчёта. Перед вычислением подпишите, относительно чего задана каждая скорость, и используйте данные условия. Если скорость дана относительно ракеты, нельзя незаметно считать её земной.

Связь с другими темами

Для понимания реактивного движения нужны понятия импульса тела и закон сохранения импульса. Также полезно уметь складывать векторы и выбирать знаки проекций: направление выброса противоположно направлению импульса ракеты. Эти навыки применяются при разборе движения космических аппаратов и задач с переменной массой. Поэтому тема связывает законы механики с работой ракетных двигателей.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении части вещества от тела.
• Ракета получает импульс, противоположный импульсу выброшенных газов.
• Для анализа используют закон сохранения импульса всей системы.
• Ракете не нужна внешняя среда, чтобы двигаться.
• Скорость истечения газов учитывают относительно ракеты.
• Чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть изменение скорости ракеты.