§ 5. Закон электромагнитной индукции

Определения и обозначения

Электромагнитная индукция — явление возникновения индукционного тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через него. Такой ток называют индукционным: он существует, пока меняется поток. Это определение помогает отличить причину появления тока от простого присутствия магнитного поля.

Магнитный поток Φ характеризует магнитное поле, проходящее через выбранную поверхность. Для плоского контура в однородном поле Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь контура, α — угол между направлением поля и нормалью к поверхности. Поток нужен, чтобы количественно описать, какое изменение поля вызывает индукцию.

ЭДС индукции εᵢ — ЭДС, возникающая в контуре при изменении магнитного потока через него. ЭДС показывает, какая работа совершается по перемещению единичного заряда в цепи. Её появление объясняет, почему в замкнутом контуре при меняющемся потоке может идти ток.

Закон электромагнитной индукции утверждает: ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока со знаком минус, εᵢ = −ΔΦ/Δt. Здесь ΔΦ — изменение потока за промежуток времени Δt. Закон позволяет находить модуль ЭДС и связывает направление вызванного ею тока с правилом Ленца.

Как это устроено

В опытах Фарадея гальванометр, подключённый к катушке, отклонялся, когда магнит двигали относительно катушки или катушку относительно магнита. Ток появлялся и при изменении магнитного поля, например при изменении тока в соседней катушке. Во всех случаях менялся магнитный поток через контур, а значит, в нём возникала ЭДС. Если взаимное положение и поле не менялись, отклонения прибора не было: одного присутствия магнита недостаточно.

Поток Φ = BS cos α зависит сразу от трёх величин, поэтому изменить его можно разными способами. Изменение B означает, что поле через поверхность становится сильнее или слабее; изменение S меняет размер участка, через который проходит поле. Наконец, при повороте контура изменяется угол α между полем и нормалью, а вместе с ним и cos α. Следовательно, движение не является обязательным условием: достаточно любого изменения потока.

Закон электромагнитной индукции εᵢ = −ΔΦ/Δt говорит, что большая скорость изменения потока даёт большую ЭДС. Если одинаковое изменение происходит за меньшее время, отношение |ΔΦ|/Δt возрастает. Модуль ЭДС отвечает за величину воздействия, а знак показывает направление относительно выбранного направления обхода контура. Направление тока связано с тем, как меняется поток, а не только с тем, растёт он или убывает в числовом выражении.

Правило Ленца формулируется так: индукционный ток своим магнитным полем противодействует изменению магнитного потока, которое его вызвало. Если внешний поток увеличивается, поле индукционного тока направлено против него; если поток уменьшается, поле тока направлено так, чтобы поддержать его. Поэтому ток не «отменяет» само магнитное поле, а препятствует именно его изменению. Это содержание знака минус в законе индукции и способ определить направление тока.

В катушке из N витков ЭДС каждого витка складывается, если изменения потоков через витки происходят одинаково. Поэтому модуль ЭДС равен N|ΔΦ/Δt|, где ΔΦ — изменение потока через один виток. Например, при одинаковом изменении потока за то же время катушка из большего числа витков создаёт большую ЭДС. Важно не умножать на N повторно, если в условии уже дана суммарная величина для всех витков.

Величины и соотношения в законе электромагнитной индукции

Сначала выбери формулу по условию: поток, ЭДС одного контура или ЭДС катушки. Для нахождения направления тока одной формулы модуля недостаточно — примени правило Ленца. Угол α всегда отсчитывается от нормали к поверхности.

Разбор задач

Задача 1. Магнитный поток через замкнутый контур изменился на 0,06 Вб за 0,2 с. Найдите модуль ЭДС индукции. В условии уже даны изменение потока и время, поэтому вычислять сам поток не требуется. Нужно применить отношение модуля изменения потока ко времени.

1. Запишем формулу для модуля: |εᵢ| = |ΔΦ|/Δt.
2. Подставим данные: |εᵢ| = 0,06 Вб / 0,2 с = 0,3 В.
3. Проверим единицы: 1 Вб/с = 1 В, поэтому результат выражен в вольтах.

Ответ: модуль ЭДС индукции равен 0,3 В. Знак не вычисляли, потому что спрашивали только модуль; для направления понадобились бы сведения о том, как изменялся поток и как выбрано направление обхода.

Задача 2. Плоский контур площадью 0,015 м² находится в однородном поле с индукцией 0,4 Тл. Найдите магнитный поток при угле 60° между полем и нормалью к контуру. Важно не заменить этот угол углом между полем и плоскостью. По условию он уже задан именно к нормали, как и требуется в формуле.

1. Выберем формулу Φ = BS cos α.
2. Подставим значения: Φ = 0,4 Тл · 0,015 м² · cos 60°.
3. Так как cos 60° = 0,5, получим Φ = 0,003 Вб = 3·10⁻³ Вб.

Ответ: магнитный поток равен 3·10⁻³ Вб. При угле 60° через поверхность проходит только часть потока, соответствующая множителю cos 60°. Если бы поле было направлено вдоль нормали, угол составил бы 0°, и поток при той же площади был бы максимальным.

Задача 3. Катушка из 200 витков находится в поле. Поток через каждый виток равномерно уменьшается с 3,0·10⁻⁴ Вб до нуля за 0,05 с. Найдите модуль ЭДС и определите направление индукционного тока относительно изменения поля. Сначала найдём изменение потока одного витка, затем учтём все витки. Поскольку поток уменьшается, направление поля тока определим по правилу Ленца.

1. Изменение потока одного витка по модулю равно 3,0·10⁻⁴ Вб.
2. Для катушки используем |εᵢ| = N|ΔΦ|/Δt: |εᵢ| = 200 · 3,0·10⁻⁴ Вб / 0,05 с = 1,2 В.
3. Поток уменьшается, поэтому поле индукционного тока направлено так, чтобы поддерживать его. Ток противодействует уменьшению потока.

Ответ: модуль ЭДС равен 1,2 В; магнитное поле индукционного тока поддерживает уменьшающийся поток. Чтобы указать, по часовой стрелке или против неё течёт ток, потребовалось бы знать направление исходного поля и смотреть на контур с заданной стороны.

Типичные ошибки

• Считать, что ток появляется просто при наличии магнитного поля. Так ошибаются, смешивая наличие поля с изменением потока через контур. Проверь себя: если поле, площадь и ориентация не меняются, поток постоянен и индукционного тока нет.

• Подставлять угол между полем и плоскостью контура в формулу Φ = BS cos α. Это легко перепутать, потому что в условии часто говорят о наклоне контура. Проверь, от какой линии отсчитан угол: нужна нормаль; угол к плоскости дополняет его до 90°.

• Игнорировать минус в законе и определять направление тока только по тому, растёт поток или убывает. Минус выражает правило Ленца, а не просто служит знаком в вычислениях. Проверь себя: поле индукционного тока должно препятствовать изменению потока, но не обязательно быть направлено против самого поля.

• Забывать множитель N или умножать на него поток, уже заданный для всей катушки. Ошибка возникает из-за смешения потока через один виток с суммарным изменением для всех витков. Проверь формулировку условия и единицы расчёта: для одинакового изменения в каждом витке используй N|ΔΦ/Δt|.

Связь с другими темами

Чтобы понять индукцию, нужно знать, что такое магнитное поле, магнитная индукция и силовые линии, а также представлять магнитное поле тока. Для вычислений понадобятся умение находить площадь и знание тригонометрических функций: они позволяют учесть угол между полем и нормалью. Закон электромагнитной индукции объясняет принцип действия генераторов переменного тока и трансформаторов. Позже он поможет разобраться и в самоиндукции — явлении, при котором изменение тока в цепи вызывает ЭДС в этой же цепи.

Что запомнить

• Индукционный ток возникает при изменении магнитного потока через замкнутый контур.
• Для однородного поля Φ = BS cos α, где α — угол между полем и нормалью к поверхности.
• Модуль ЭДС индукции равен скорости изменения магнитного потока.
• В катушке из N витков учитывают изменение потока во всех витках.
• Направление индукционного тока определяют по правилу Ленца.
• Индукционный ток противодействует изменению магнитного потока, вызвавшему его.