1. Реактивное движение

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части его массы с некоторой скоростью. Например, тело может начать двигаться, если выбросит часть вещества в сторону. Это понятие помогает объяснить, как движутся ракеты и другие тела переменной массы.

Реактивная сила — сила, с которой отделяемая часть вещества действует на тело; она сообщает телу импульс в противоположном направлении. Импульс — физическая величина, равная произведению массы на скорость. Представление о реактивной силе позволяет описать действие двигателя, который выбрасывает газы.

Ракета — тело, которое движется за счёт выброса продуктов сгорания топлива и не нуждается для этого в опоре или окружающей среде. Внутри ракеты топливо сгорает, а образовавшиеся газы выходят через сопло. Это определение показывает, почему ракета способна двигаться и в пустом космическом пространстве.

Скорость истечения — скорость, с которой выбрасываемое вещество движется относительно тела. Её обозначают u; это не обязательно скорость газа относительно Земли. Скорость истечения нужна, чтобы связать параметры двигателя с изменением скорости ракеты.

Как это устроено

Когда часть массы отделяется, оставшееся тело и выброшенное вещество начинают двигаться в противоположных направлениях. Причина не в том, что одно из них обязательно толкает другое после разделения: до отделения они составляли общую систему, а при выбросе взаимодействовали. Если внешнее воздействие мало, движение одного тела компенсирует движение другой части системы. Так тело, изначально покоившееся, может получить скорость без толчка со стороны опоры.

Закон сохранения импульса говорит, что полный импульс замкнутой системы не меняется. Замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или их действие можно не учитывать. Поэтому импульс тела и выброшенного вещества после отделения в сумме равен импульсу всей системы до отделения. Если до выброса система покоилась, её начальный импульс равен нулю, а после выброса импульсы частей равны по модулю и противоположны по направлению.

В ракетном двигателе топливо непрерывно сгорает, а продукты сгорания выбрасываются назад. Каждая порция газа уносит импульс в сторону истечения, и ракета получает импульс вперёд, чтобы общий импульс системы сохранялся. Многократное действие выбрасываемых порций создаёт тягу — действие двигателя, которое меняет скорость ракеты. Направление тяги противоположно направлению истечения газов.

Для работы ракете не требуется воздух, который можно было бы отталкивать. Она взаимодействует с собственными продуктами сгорания: двигатель выбрасывает их назад и получает ответное действие вперёд. В вакууме вокруг ракеты нет воздуха, но газ образуется из топлива внутри самой ракеты. Поэтому реактивный принцип работает и в космосе, и в атмосфере.

По мере расходования топлива масса ракеты уменьшается, а скорость продолжает изменяться при истечении газов. В идеальной модели, где не учитываются внешние силы, изменение скорости связано с отношением начальной и конечной масс: Δv = u ln(m₀/m). Здесь m₀ — масса ракеты до расходования топлива, m — масса после, u — постоянная скорость истечения, а ln — натуральный логарифм. Чем больше u и чем сильнее уменьшается масса ракеты, тем больше идеальное изменение её скорости.

Величины и связи в модели реактивного движения

Сначала определите, рассматриваете ли вы один выброс или длительное истечение топлива. Для одного выброса удобно записать импульсы ракеты и вещества с учётом их направлений. Для идеального расчёта изменения скорости при расходовании топлива используйте формулу Циолковского и проверьте, что внешние силы можно не учитывать.

Разбор задач

Прыжок с тележки

Неподвижная тележка с человеком. Человек прыгает горизонтально со скоростью 2 м/с относительно Земли. Массы человека и тележки равны 60 кг и 40 кг. Найдите скорость тележки после прыжка.

1. Выберем систему «человек — тележка». До прыжка она покоится, поэтому её суммарный импульс равен нулю. За короткое время прыжка внешним горизонтальным воздействием можно пренебречь.
2. После прыжка импульс человека равен 60 · 2 = 120 кг·м/с. Тележка движется в противоположную сторону, поэтому обозначим её скорость v и запишем: 60 · 2 + 40v = 0.
3. Решаем уравнение: 40v = −120, значит, v = −3 м/с. Знак минус показывает направление, противоположное прыжку человека; скорость тележки по модулю равна 3 м/с.

Ответ: 3 м/с в сторону, противоположную прыжку человека.

Выброс газа из ракеты

Ракета покоится, её масса вместе с топливом равна 500 кг. Она выбрасывает 20 кг газа со скоростью 300 м/с относительно ракеты. Найдите скорость ракеты после выброса, если движение горизонтальное и внешними силами можно пренебречь.

1. После выброса масса ракеты равна 500 − 20 = 480 кг. Обозначим её скорость относительно Земли через v и направим ось вперёд, то есть противоположно истечению газа.
2. Газ движется относительно ракеты назад со скоростью 300 м/с, значит, относительно Земли его скорость равна v − 300 м/с. Здесь важно учитывать, что задана именно относительная скорость, а не скорость газа относительно Земли.
3. Начальный импульс системы равен нулю. По закону сохранения импульса: 480v + 20(v − 300) = 0. После раскрытия скобок получаем 500v = 6000, откуда v = 12 м/с.

Ответ: 12 м/с вперёд, в сторону, противоположную выбросу газа.

Изменение скорости ракеты

Ракета стартует с массой 1200 кг и после расходования топлива имеет массу 400 кг. Скорость истечения газов постоянна и равна 2 км/с. Найдите идеальное изменение скорости ракеты, пренебрегая сопротивлением и действием тяжести.

1. Здесь рассматривается не один выброс, а длительное истечение топлива. Поэтому применяем формулу Циолковского: Δv = u ln(m₀/m), где массы должны быть выражены в одинаковых единицах.
2. Подставляем данные: Δv = 2 км/с · ln(1200/400) = 2 км/с · ln 3. Поскольку ln 3 ≈ 1,10, изменение скорости составляет примерно 2,20 км/с.
3. Полученный результат — идеальная прибавка скорости, а не обязательно реальная скорость ракеты относительно Земли. В задаче специально исключены тяжесть и сопротивление, поэтому эти воздействия не уменьшают расчётное значение.

Ответ: Δv ≈ 2,2 км/с.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что ракета отталкивается от воздуха и потому не сможет лететь в вакууме. Такое представление возникает из бытовых примеров, где движение связано с опорой или окружающей средой. Проверьте себя: в объяснении тяги должны участвовать ракета и выбрасываемые газы, а не воздух снаружи.

Нельзя автоматически принимать скорость истечения за скорость газа относительно Земли. Их путают, потому что в условии часто указано только одно значение скорости, но тело, из которого выходит газ, само движется. Проверьте систему отсчёта: если скорость дана относительно ракеты, для скорости газа относительно Земли нужно учесть скорость ракеты.

Ещё одна ошибка — записать импульсы ракеты и газа с одинаковыми знаками. Она появляется, если не выбрать направление оси до составления уравнения. Нарисуйте стрелки скоростей: газ и ракета движутся в противоположные стороны, поэтому знаки их проекций должны различаться.

Формулу Циолковского нельзя применять без оговорок к любой реальной ракете. Её вывод предполагает идеальную модель, в частности постоянную скорость истечения и отсутствие учитываемых внешних сил. Перед подстановкой проверьте условия задачи: если важны тяжесть, сопротивление или меняющееся значение u, одного расчёта по этой формуле недостаточно.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать реактивное движение, нужно знать импульс тела и закон сохранения импульса для замкнутой системы. Эти идеи позволяют связать скорости ракеты и выбрасываемого вещества и правильно выбрать знаки в расчёте. Реактивное движение объясняет принцип полёта ракет, а формула Циолковского помогает оценивать изменение скорости тела переменной массы. Эти знания применяют при изучении космических полётов и движения ракет.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении части массы тела.
• Тело и отделившаяся часть получают импульсы противоположных направлений.
• Объяснение реактивного движения основано на законе сохранения импульса.
• Ракета движется благодаря выбросу продуктов сгорания, а не отталкиванию от воздуха.
• Скорость истечения задаётся относительно ракеты.
• В идеальной модели изменение скорости ракеты зависит от скорости истечения и отношения начальной массы к конечной.