"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Идеальный газ — модель, которая помогает описывать поведение газов с помощью давления, объёма и температуры. Эти величины связаны уравнением состояния pV = νRT: зная три параметра и количество вещества, можно найти четвёртый. Количество вещества выражают в молях, а температуру обязательно переводят в кельвины. Уравнение применяют для расчётов в задачах о газах и для сравнения состояний одной и той же порции газа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием на расстоянии пренебрегают, а столкновения считают упругими. Это не описание любого газа во всех условиях, а упрощение, удобное для расчётов. Модель хорошо работает, когда молекулы расположены далеко друг от друга и их собственный объём мал по сравнению с объёмом сосуда. Благодаря ей свойства газа можно выразить простыми формулами.
Уравнение состояния идеального газа — связь давления p, объёма V, температуры T и количества вещества ν: pV = νRT. Давление показывает, с какой силой газ действует на единицу площади, объём — занимаемое пространство, а температура характеризует тепловое состояние. Формула нужна, чтобы находить неизвестный параметр, если известны остальные. Она описывает равновесное состояние газа.
Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния, одинаковый для всех идеальных газов; R ≈ 8,31 Дж/(моль·К). Она связывает макроскопические величины с количеством вещества и абсолютной температурой. Единица измерения показывает, что расчёт должен быть согласован по молям и кельвинам. Значение R не зависит от вида газа.
Количество вещества ν — мера числа частиц в порции вещества, выражаемая в молях; ν = m/M. Здесь m — масса газа, а M — молярная масса, то есть масса одного моля вещества. Эта величина позволяет учитывать число частиц, не пересчитывая каждую молекулу. Если в задаче дана масса, сначала по формуле находят ν, а затем подставляют его в уравнение состояния.
Для описания данной порции газа используют давление, объём и температуру, потому что изменение одного из этих параметров обычно сопровождается изменением других. Например, при нагревании газа молекулы движутся быстрее и чаще ударяются о стенки сосуда, поэтому давление может вырасти. Если сосуд подвижный, газ при нагревании способен расшириться, и тогда меняется объём. Уравнение состояния объединяет эти изменения в одну зависимость.
Для постоянной массы газа объединённый газовый закон записывают как pV/T = const: при переходе между состояниями отношение pV к абсолютной температуре сохраняется. Это следует из того, что количество вещества остаётся неизменным, а свойства порции описывает одна и та же зависимость. Константа для данной порции равна νR, поэтому pV/T = νR. Умножив обе части на T, получаем уравнение состояния pV = νRT.
Уравнение показывает, как состояние зависит не только от p, V и T, но и от количества вещества ν. При одинаковых температуре и объёме увеличение количества газа приводит к большему давлению: в сосуде становится больше молекул, чаще сталкивающихся со стенками. Если давление и температура поддерживаются постоянными, большему количеству газа соответствует больший объём. Поэтому при сравнении газов необходимо учитывать, сколько вещества содержится в каждом.
Можно описывать газ не количеством молей, а числом молекул N. Поскольку ν = N/Nₐ, подстановка в pV = νRT даёт pV = N(R/Nₐ)T. Отношение R/Nₐ равно постоянной Больцмана k, поэтому получается форма pV = NkT. Она удобна, когда известно число частиц или рассматривается молекулярно-кинетическая теория; связь постоянных записывают как R = Nₐk.
Температуру в уравнение состояния подставляют в кельвинах, потому что оно использует абсолютную температуру, ноль которой соответствует абсолютному нулю. Шкала Цельсия сдвинута относительно неё, поэтому подстановка градусов Цельсия нарушит расчёт. Для перевода применяют формулу T = t + 273,15, где t — температура в градусах Цельсия. Например, 27 °C соответствуют примерно 300 К.
| Форма записи | Что обозначают параметры | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| pV = νRT | p — давление, V — объём, ν — количество вещества, T — абсолютная температура | Когда известно количество вещества |
| pV = (m/M)RT | m — масса газа, M — молярная масса | Когда дана масса газа |
| pV = NkT | N — число молекул, k — постоянная Больцмана | Когда рассматривают число частиц |
| pV/T = const | Масса и количество вещества данной порции газа неизменны | Для сравнения двух состояний одной порции газа |
Сначала посмотрите, какие величины даны в условии: масса, количество вещества или число молекул. Затем выберите соответствующую форму записи и проверьте, что температура абсолютная, а единицы измерения согласованы. Последняя строка подходит только для сравнения состояний одной и той же порции газа.
В сосуде объёмом 0,020 м³ находится 1,0 моль идеального газа при температуре 300 К. Нужно найти давление. Количество вещества уже дано, поэтому используем pV = νRT и выразим давление. Все величины можно подставить в единицах СИ.
Давление получилось больше атмосферного, что согласуется с тем, что один моль газа находится в небольшом объёме. Ответ: p ≈ 1,25 · 10⁵ Па, или 125 кПа.
Газ массой 4,0 г имеет молярную массу 0,020 кг/моль, занимает объём 5,0 л при давлении 200 кПа. Требуется найти температуру. Сначала определим количество вещества, а затем выразим температуру из уравнения состояния. Переведём массу в килограммы, объём — в кубические метры, давление — в паскали.
Результат выражен в кельвинах, как и требуется для уравнения состояния. Если понадобится, это примерно 329 °C после вычитания 273,15. Ответ: T ≈ 602 К.
В сосуде объёмом 10 л находится 2,0 г водорода с молярной массой 2,0 г/моль при температуре 27 °C. Нужно вычислить давление газа. Сначала найдём количество вещества и переведём температуру и объём в единицы, подходящие для расчёта. Поскольку сосуд закрыт, количество газа в нём не меняется.
Округляя результат, получаем около 2,5 · 10⁵ Па. Такая запись соответствует примерно 249 кПа. Ответ: p ≈ 2,5 · 10⁵ Па.
Температуру иногда подставляют в градусах Цельсия, потому что именно в них она часто дана в условии. Но в уравнении состояния нужна абсолютная температура: значение в градусах Цельсия не отсчитывается от абсолютного нуля. Перед вычислением проверьте обозначение T и переведите t по формуле T = t + 273,15. Если температура дана в кельвинах, перевод не требуется.
Другая ошибка — подстановка литров и килопаскалей без перевода в СИ. Она возникает, когда числа выглядят удобными и единицы забывают проверить, но результат тогда может отличаться в сотни или тысячи раз. При использовании R = 8,31 Дж/(моль·К) подставляйте объём в м³ и давление в Па. Самопроверка: переведите 1 л в 0,001 м³, а 1 кПа в 1000 Па.
Массу m могут принять за количество вещества ν, поскольку обе величины описывают, сколько газа имеется. Однако масса измеряется в килограммах или граммах, а количество вещества — в молях; для перехода нужна молярная масса. Используйте ν = m/M, предварительно согласовав единицы m и M. Проверка проста: единицы массы в числителе и знаменателе сокращаются, оставляя моли.
Соотношение pV/T = const иногда применяют, даже если газ добавляют в сосуд или выпускают из него. Так делать нельзя: это соотношение получено для одной порции с неизменным количеством вещества. При изменении ν нужно учитывать его в полном уравнении pV = νRT. Перед выбором формулы проверьте, сохраняется ли количество газа между рассматриваемыми состояниями.
Для работы с уравнением состояния нужны понятия давления, объёма, температуры, моля и молярной массы. Также важно уметь переводить температуру в кельвины и следить за единицами величин. Эти знания позволяют выбрать формулу и корректно выполнить подстановку.
Уравнение состояния применяют при решении задач о газах и при изучении изопроцессов. Изотермический процесс происходит при постоянной температуре, изобарный — при постоянном давлении, изохорный — при постоянном объёме. Каждый из них можно анализировать как частный случай связи p, V и T.
Форма pV = NkT связывает макроскопическое описание газа с молекулярно-кинетической теорией. В ней вместо количества вещества используют число молекул, поэтому становится видна роль частиц в создании давления. Постоянная Больцмана связывает эту запись с универсальной газовой постоянной.
Почему в уравнении состояния нельзя использовать температуру в градусах Цельсия?
Уравнение pV = νRT использует абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля. Градусы Цельсия имеют другой ноль отсчёта, поэтому сначала нужно прибавить 273,15: T = t + 273,15.
Что делать, если в условии дана масса газа, а не количество вещества?
Найдите количество вещества по формуле ν = m/M, где m — масса газа, а M — его молярная масса. Перед вычислением проверьте, что обе величины записаны в согласованных единицах.
Какую форму уравнения выбрать, если известно число молекул?
Используйте микроскопическую форму pV = NkT. Здесь N — число молекул, а k — постоянная Больцмана.
При каких условиях можно использовать соотношение pV/T = const?
Оно подходит для сравнения двух состояний одной и той же порции газа, если её количество вещества не меняется. Если газ добавляют или выпускают, это соотношение применять нельзя.
В каких единицах нужно подставлять давление и объём?
Если используете R ≈ 8,31 Дж/(моль·К), давление подставляйте в паскалях, а объём — в кубических метрах. Килопаскали переводят в паскали умножением на 1000, литры — в кубические метры делением на 1000.
§ 20. Уравнение состояния идеального газа
