§28. Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденные колебания — колебания системы под действием внешней периодической силы. Их поддерживает источник внешнего воздействия, а в установившемся режиме частота движения равна частоте этой силы. Это определение помогает отличать вынужденное движение от свободного, которое происходит за счёт первоначально запасённой энергии.

Внешняя периодическая сила — периодически изменяющееся воздействие, поддерживающее колебания системы. Она может быть, например, силой рук, ритмично толкающих качели. Такое воздействие компенсирует потери энергии и не даёт движению быстро прекратиться.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы или близка к ней. Собственная частота — частота свободных колебаний системы без внешнего периодического воздействия. Понятие резонанса нужно, чтобы объяснить, почему небольшие, но ритмичные толчки могут вызвать большие колебания.

Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения. Её находят по максимуму зависимости амплитуды от частоты. Это позволяет определить, с каким ритмом воздействие сильнее всего раскачивает систему.

Как это устроено

При свободных колебаниях система получает энергию вначале: например, маятник отклоняют и отпускают. Затем трение в подвесе и сопротивление воздуха превращают часть механической энергии во внутреннюю энергию, поэтому размах колебаний постепенно уменьшается. Внешняя периодическая сила регулярно совершает работу и восполняет потери, поддерживая движение.

В установившемся режиме частоту задаёт не собственное устройство системы, а ритм повторяющегося внешнего воздействия. Сила толкает систему в определённые моменты, и после переходного процесса движение подстраивается под её период. Собственная частота при этом не исчезает: она влияет на то, насколько большой получится амплитуда при выбранной частоте воздействия.

Если частота внешней силы далека от собственной частоты, система не успевает эффективно накапливать энергию за последовательные циклы. Поэтому амплитуда обычно меньше, чем при близких частотах. Она определяется не только частотой воздействия, но и потерями энергии: более сильное сопротивление заметнее ограничивает движение.

Когда частоты близки, внешняя сила действует в подходящем ритме: её работа от цикла к циклу увеличивает энергию колебаний. В результате передача энергии становится наиболее эффективной и возникает резонанс. Именно поэтому регулярные небольшие толчки способны сильно раскачать качели, если толкать их в такт собственному движению.

Без сопротивления резонансная амплитуда в идеализированной модели могла бы расти неограниченно. В реальной системе трение и другие потери отводят энергию, поэтому рост прекращается, когда поступление энергии уравновешивается потерями. Чем сильнее сопротивление, тем ниже и шире резонансный максимум; при слабом сопротивлении максимум выше и выражен уже.

Сравнение свободных и вынужденных колебаний и резонанса

Сначала определите источник энергии и выясните, есть ли внешнее периодическое воздействие. Затем сравните частоту движения с частотой силы и учтите, что сопротивление уменьшает амплитуду. Если частоты близки и амплитуда достигает максимума, речь идёт о резонансе.

Разбор задач

Задача 1. Качели имеют собственный период 2 с. С какой частотой нужно периодически толкать качели, чтобы амплитуда стала наибольшей? Для наибольшей амплитуды нужно создать резонанс, то есть выбрать частоту толчков, равную собственной частоте качелей. Связь периода и частоты задаётся формулой ν = 1/T.

1. Записываем период: T = 2 с.
2. Вычисляем собственную частоту: ν₀ = 1/T = 1/2 = 0,5 Гц.
3. Для резонанса частота толчков должна быть равна собственной частоте: ν = ν₀.

Ответ: толкать качели нужно с частотой 0,5 Гц, то есть один раз в 2 с. В реальности сопротивление не даст амплитуде расти бесконечно, но подходящий ритм всё равно обеспечит наиболее сильное раскачивание.

Задача 2. На систему действует внешняя сила частотой 4 Гц, а её собственная частота равна 2 Гц. Определить, будет ли наблюдаться резонанс. Резонанс ожидается, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной или достаточно близка к ней. Здесь частоты различаются вдвое.

1. Выписываем данные: ν = 4 Гц, ν₀ = 2 Гц.
2. Сравниваем их: 4 Гц не равно 2 Гц, а различие не является малым относительно этих значений.
3. Следовательно, условие резонанса не выполняется; движение будет вынужденным, но резонансного максимума при этой частоте ожидать не следует.

Ответ: резонанса не будет. Частота установившихся колебаний при этом всё равно равна 4 Гц — частоте внешней силы; амплитуда зависит также от сопротивления системы.

Задача 3. По графику зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы нужно определить резонансную частоту и сравнить амплитуды при двух заданных частотах. Числовых значений графика и частот в условии нет, поэтому результат считывают с конкретного графика, а не вычисляют заранее. Важно не перепутать положение максимума с самой высокой из двух произвольно выбранных точек.

1. Находим вершину резонансной кривой — точку, где амплитуда максимальна.
2. Считываем соответствующее значение по горизонтальной оси: это резонансная частота.
3. Отмечаем на графике точки для обеих заданных частот и сравниваем их высоты по вертикальной оси. Точка выше соответствует большей амплитуде.

Ответ: резонансная частота равна частоте в точке максимума кривой. Какая из двух амплитуд больше, определяется высотой соответствующих точек на графике; без самого графика и значений частот численный ответ установить нельзя.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной частоте системы. Так думают, потому что собственная частота характеризует систему, но в установившемся вынужденном движении ритм задаёт внешний источник. Проверка: найдите, какая частота указана для силы, — именно она определяет частоту движения.

Вторая ошибка — требовать точного совпадения частот для любого резонанса. На практике сопротивление и свойства системы влияют на ширину резонансной области, поэтому сильное усиление возможно и при близких частотах. Проверка: учитывайте не только равенство частот, но и близость к максимуму резонансной кривой.

Третья ошибка — утверждать, что при резонансе амплитуда становится бесконечной. Такой вывод возможен лишь в идеализированной модели без потерь; в реальных системах трение и сопротивление ограничивают рост. Проверка: выясните, указаны ли потери энергии, и помните, что реальная амплитуда конечна.

Четвёртая ошибка — называть резонансом любое увеличение амплитуды. Амплитуда может меняться по разным причинам, а резонанс связан с близостью частот и наиболее эффективной передачей энергии от внешней силы. Проверка: сравните частоту воздействия с собственной частотой и найдите максимум амплитуды.

Связь с другими темами

Для изучения резонанса нужны характеристики гармонических колебаний: период, частота, амплитуда и собственная частота. Понимание превращения энергии помогает объяснить затухание и то, как внешняя сила восполняет потери, а сопротивление — ограничивает размах движения. Эти идеи применяются к механическим и электрическим колебательным системам, а также при оценке работы приборов, механизмов и технических конструкций.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой.
• Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Амплитуда зависит от частоты внешней силы, собственной частоты системы и сопротивления.
• Резонанс возникает при близости частоты внешней силы к собственной частоте системы.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний максимальна.
• Сопротивление уменьшает резонансную амплитуду.
• Резонанс может быть полезным явлением или представлять опасность для сооружений и механизмов.