Вынужденные колебания. Резонанс

Определения и обозначения

Вынужденное колебание — колебание системы под действием внешней периодической силы. В отличие от свободного колебания, оно не поддерживается только первоначально сообщённой энергией. Это понятие помогает понять, почему движение продолжается, пока действует внешний источник.

Вынуждающая сила — внешняя сила, периодически изменяющаяся по величине или направлению и поддерживающая колебания. Например, это могут быть регулярные толчки маятника. Частота этой силы задаёт частоту установившегося движения.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при близости частоты внешней силы к собственной частоте системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение тела от положения равновесия. Термин нужен, чтобы описывать как полезное усиление колебаний, так и опасные перегрузки.

Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения. Она близка к собственной частоте системы, но точное положение максимума зависит от потерь энергии. По этой частоте находят наиболее сильный отклик системы.

Как это устроено

Свободные колебания постепенно затухают, потому что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию при трении и сопротивлении воздуха. Поэтому каждый следующий размах обычно меньше предыдущего. Периодическая внешняя сила восполняет потери: при каждом воздействии она передаёт системе новую порцию энергии.

Характер установившихся колебаний зависит от частоты, амплитуды и направления вынуждающей силы. Большая амплитуда силы обычно означает более сильную передачу энергии, но итоговое отклонение определяется также свойствами самой системы. Если сила направлена неудачно по отношению к движению, часть её работы может отнимать энергию, поэтому особенно важны согласованность направления и фаза воздействия.

В установившемся режиме система колеблется с частотой внешней силы, потому что именно источник задаёт ритм поступления энергии. Собственная частота характеризует свободное движение системы и не исчезает из физических свойств, но уже не обязана совпадать с наблюдаемой частотой. После переходного процесса колебания, связанные с первоначальным толчком, ослабевают, а вынужденное движение сохраняется.

Если частота внешнего воздействия близка к собственной частоте, сила действует особенно эффективно: энергия поступает в систему в подходящие моменты. За один цикл система получает больше энергии, чем при далёком от собственной частоты воздействии. Поэтому амплитуда возрастает, а максимум отклика называют резонансом.

Трение и сопротивление ограничивают рост амплитуды, поскольку уносят часть энергии каждого цикла. При сильном сопротивлении энергия быстро теряется, и резонансный максимум становится невысоким и менее резким. При малых потерях накопление энергии происходит эффективнее, поэтому резонанс выражен сильнее и может стать опасным.

Сравнение свободных и вынужденных колебаний и резонанса

Сначала найдите причину возникновения и источник энергии, затем сравните частоты. Если внешняя сила есть, но частоты не близки, это ещё не резонанс. Последняя колонка показывает особый случай вынужденных колебаний, при котором амплитуда максимальна.

Разбор задач

Задача 1

Условие: на пружине совершается груз, на который действует периодическая сила частотой 2 Гц. Определить частоту установившихся вынужденных колебаний.

1. Определяем тип движения: на груз действует периодическая внешняя сила, значит, колебания являются вынужденными.
2. В установившемся режиме система подстраивается под ритм источника. Поэтому её частота равна частоте вынуждающей силы: ν = 2 Гц.

Ответ: частота установившихся колебаний равна 2 Гц. Собственная частота пружинной системы для этого вопроса не нужна.

Задача 2

Условие: собственная частота системы равна 5 Гц. При какой частоте вынуждающей силы возможно наиболее сильное увеличение амплитуды? Как изменится результат при значительном трении?

1. Наиболее сильное увеличение амплитуды возникает при резонансе.
2. Условие резонанса — близость частоты внешней силы к собственной, поэтому νвнеш ≈ 5 Гц.
3. Значительное трение не отменяет вынужденное движение, но отводит энергию. Максимальная амплитуда будет меньше, а резонансный максимум — более сглаженным.

Ответ: резонанс возможен при частоте около 5 Гц; при сильном трении амплитуда резонанса уменьшается.

Задача 3

Условие: маятник раскачивают периодическими толчками. Сравнить амплитуду при толчках с частотой, близкой к собственной частоте маятника, и при частоте, значительно отличающейся от неё.

1. При близких частотах толчки приходятся на подходящие моменты движения и каждый раз добавляют энергию.
2. Энергия накапливается, поэтому амплитуда становится большой: наблюдается резонанс.
3. При сильно отличающихся частотах толчки частично приходятся не вовремя, и передача энергии менее эффективна. Амплитуда будет заметно меньше.

Ответ: наибольшая амплитуда будет при частоте толчков, близкой к собственной частоте маятника; причина — согласованная передача энергии.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые вынужденные колебания являются резонансом. Её допускают, потому что оба явления связаны с внешней силой. Проверьте себя: сравните частоты и называйте резонансом только случай их близости.

Ошибка: утверждать, что частота вынужденных колебаний всегда равна собственной. Собственная частота относится прежде всего к свободному движению, а в установившемся режиме ритм задаёт источник. Уточняйте, о какой частоте говорится в условии.

Ошибка: считать резонанс только полезным явлением. Большая амплитуда может усилить сигнал, но способна вызвать разрушение конструкции. Проверяйте последствия для конкретной системы.

Ошибка: игнорировать трение и сопротивление. Без потерь амплитуда выглядела бы неограниченно растущей, тогда как в реальных системах энергия рассеивается. Всегда учитывайте, что сопротивление уменьшает и сглаживает резонанс.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия амплитуды, периода, частоты, собственных и свободных колебаний. Также важно понимать, что сила трения отнимает у системы механическую энергию.

Эти знания пригодятся при изучении механических волн и звука: источники колебаний передают энергию окружающей среде. Резонанс помогает объяснить работу музыкальных инструментов и колебательных контуров.

На практике резонанс учитывают при проектировании мостов, зданий, машин и приборов. В радиотехнических системах его используют для выделения нужной частоты и усиления сигнала.

Что запомнить

• Вынужденные колебания поддерживаются внешней периодической силой.
• В установившемся режиме частота колебаний равна частоте внешнего воздействия.
• Резонанс возникает при близости частоты внешней силы к собственной частоте системы.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний максимальна.
• Трение и сопротивление уменьшают резонансную амплитуду.
• Резонанс может быть полезным или опасным.
• Для резонанса нужны и близость частот, и внешнее периодическое воздействие.