§ 44. Параллельное соединение проводников

Определения и обозначения

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором концы каждого проводника подключены к одной и той же паре точек цепи. Значит, проводники образуют разные пути между общими точками. Это определение помогает отличить параллельное соединение от последовательного.

Узел электрической цепи — точка, в которой соединяются несколько проводников и разделяется или объединяется ток. Например, в месте разветвления ток входит в узел, а затем расходится по ветвям. Узлы нужны, чтобы понять, где именно ток делится и как связаны его значения.

Ветвь электрической цепи — участок между двумя узлами; при параллельном соединении в разных ветвях могут находиться разные проводники. Каждая такая ветвь соединяет одну и ту же пару узлов, хотя токи в них могут отличаться. Понятие ветви позволяет отдельно рассматривать каждый путь тока.

Общее сопротивление параллельно соединённых проводников — сопротивление одного проводника, который мог бы заменить соединённые проводники без изменения действия участка цепи. Его обозначают Rобщ. Оно показывает, как весь параллельный участок влияет на ток, и позволяет заменить несколько ветвей одной величиной при расчёте цепи.

Как это устроено

Концы каждой ветви подключены к одним и тем же двум узлам, поэтому напряжение на них одинаково: U = U₁ = U₂. Напряжение показывает разность электрических потенциалов между концами проводника. Поскольку начальная и конечная точки у всех ветвей совпадают, разность потенциалов тоже совпадает. Сопротивления проводников при этом могут быть разными, так что одинаковое напряжение не означает одинаковую силу тока.

Когда ток доходит до узла, часть заряда направляется в одну ветвь, а часть — в другие. Заряд не исчезает и не накапливается в узле: за одно и то же время к нему поступает столько же заряда, сколько уходит. Поэтому сила тока до разветвления равна сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂. В месте их объединения токи ветвей снова складываются в общий ток.

При одинаковом напряжении ток в каждой ветви зависит от её сопротивления по закону Ома: I = U/R. Если сопротивление меньше, то при том же напряжении через ветвь проходит больший ток. Например, при одинаковом U ветвь с сопротивлением 3 Ом пропускает больший ток, чем ветвь с сопротивлением 6 Ом. Значит, нельзя заранее считать токи одинаковыми: для этого нужны ещё и равные сопротивления.

Формулу общего сопротивления получают из закона Ома и правила сложения токов. Для двух ветвей I = U/Rобщ, а токи в них равны I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂. Подставляем эти выражения в I = I₁ + I₂: U/Rобщ = U/R₁ + U/R₂. Делим обе части на одинаковое напряжение U и получаем 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂.

Добавление параллельной ветви даёт току дополнительный путь. При прежнем напряжении токи по всем путям складываются, поэтому общий ток становится больше. По закону Ома при том же напряжении большему общему току соответствует меньшее общее сопротивление. Поэтому Rобщ меньше сопротивления каждой отдельной ветви.

Величины при параллельном соединении проводников

Сначала определите, какую величину требуется найти, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Если известны напряжение и сопротивление отдельной ветви, используйте закон Ома; если нужно найти общий ток — сложите токи ветвей. Для общего сопротивления применяйте формулу с обратными величинами и проверяйте, что результат меньше наименьшего сопротивления.

Разбор задач

Задача 1. Два проводника подключены параллельно к источнику напряжением 6 В. Определите напряжение на каждом проводнике. Здесь не нужны сопротивления: при параллельном подключении напряжение на ветвях равно напряжению между общими узлами, то есть напряжению источника.

1. Запишем свойство параллельного соединения: U = U₁ = U₂. Это позволяет сразу связать напряжение источника с напряжениями на проводниках.
2. Подставим значение напряжения источника: U₁ = 6 В и U₂ = 6 В. Отдельно искать ток или сопротивление для ответа не требуется.

Ответ: напряжение на каждом проводнике равно 6 В. Оба проводника подключены к одной паре точек цепи, поэтому падение напряжения на них одинаковое. Это не означает, что токи в них обязательно равны.

Задача 2. К источнику напряжением 12 В параллельно подключены резисторы сопротивлением 6 Ом и 3 Ом. Найдите силу тока в каждой ветви и общий ток. Сначала рассчитаем токи по отдельности: для этого известны напряжение каждой ветви и её сопротивление. Затем сложим токи, поскольку в узле они объединяются.

1. Напряжение на обоих резисторах равно напряжению источника: U₁ = U₂ = 12 В. Это следует из параллельного соединения.
2. Для резистора 6 Ом закон Ома даёт I₁ = U₁/R₁ = 12/6 = 2 А. Для резистора 3 Ом получаем I₂ = U₂/R₂ = 12/3 = 4 А.
3. Сложим токи ветвей: I = I₁ + I₂ = 2 + 4 = 6 А. Проверка: в ветви с меньшим сопротивлением 3 Ом ток действительно больше.

Ответ: в резисторе 6 Ом течёт ток 2 А, в резисторе 3 Ом — 4 А, общий ток равен 6 А. Не складывайте сопротивления, чтобы найти ток источника: сначала нужны токи ветвей. Их сумма показывает ток до разветвления.

Задача 3. Два резистора сопротивлением 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно. Найдите общее сопротивление участка. Для этого используем формулу суммы обратных сопротивлений, а затем проверим результат по физическому смыслу: он должен быть меньше 4 Ом, то есть сопротивления самой малой ветви.

1. Запишем формулу: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂. Подставим сопротивления: 1/Rобщ = 1/4 + 1/12.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: 1/4 = 3/12, поэтому 1/Rобщ = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3. Следовательно, Rобщ = 3 Ом.
3. Проверим результат: 3 Ом меньше и 4 Ом, и 12 Ом. Такая проверка подтверждает, что общее сопротивление найдено правдоподобно.

Ответ: общее сопротивление участка равно 3 Ом. Обратные сопротивления складываются потому, что при общем напряжении складываются токи ветвей. Если бы получилось значение больше 4 Ом, следовало бы проверить вычисления.

Типичные ошибки

Ошибка: считать силы токов в ветвях одинаковыми. Так думают, потому что напряжение на параллельных проводниках действительно совпадает. Но закон Ома связывает ток ещё и с сопротивлением: при меньшем сопротивлении ток больше. Проверьте каждую ветвь отдельно по формуле I = U/R; одинаковыми токи будут лишь при равных сопротивлениях.

Ошибка: складывать сопротивления напрямую. Прямое сложение применяют для последовательного соединения, поэтому эту формулу легко перепутать с правилом для параллельных ветвей. Здесь складывают обратные сопротивления: 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂. Проверьте, что в вычислении сначала найдена величина 1/Rобщ, а затем взята обратная ей величина.

Ошибка: забывать, что общий ток складывается из токов ветвей. Иногда за ток источника принимают ток только одной ветви, потому что рассматривают её отдельно. Однако до разветвления проходит суммарный ток: I = I₁ + I₂ + … . Для проверки запишите ток каждой ветви и сравните их сумму с рассчитанным током источника.

Ошибка: получать общее сопротивление больше сопротивления одной из ветвей. Это обычно происходит из-за прямого сложения или ошибки при обращении дроби. Поскольку параллельные пути увеличивают общий ток при прежнем напряжении, общее сопротивление должно уменьшаться. Сравните результат с самым малым сопротивлением: Rобщ обязан быть меньше него.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в параллельном соединении, нужно знать закон Ома для участка цепи: I = U/R. Также понадобятся понятия силы тока, напряжения и сопротивления, их обозначения и единицы измерения. Правила измерения помогают понять, какие величины относятся ко всей цепи, а какие — к отдельной ветви.

Эти правила применяют при расчёте разветвлённых электрических цепей, где ток может идти по нескольким путям. Они помогают объяснить подключение бытовых приборов к электросети: приборы получают общее напряжение, а работа одного не должна зависеть от включения другого. Знание параллельного соединения позволяет находить токи и общее сопротивление таких участков цепи.

Что запомнить

• В параллельном соединении все ветви подключены к одной паре узлов.
• Напряжение на всех ветвях одинаково.
• Общий ток равен сумме токов в ветвях.
• Ток в каждой ветви можно найти по закону Ома.
• Обратное общее сопротивление равно сумме обратных сопротивлений ветвей.
• Общее сопротивление параллельного участка меньше сопротивления каждой его ветви.