§ 50. Параллельное соединение проводников

Определения и обозначения

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором начала всех проводников объединены в одной точке, а концы — в другой. Эти общие точки называют узлами цепи. Между узлами образуются пути, по которым ток может идти одновременно. Такое подключение используют, когда нескольким приборам нужно получать одно и то же напряжение.

Ветвь электрической цепи — участок цепи между точками разветвления. В параллельном соединении в каждой ветви находится отдельный проводник или прибор, и по ней проходит свой ток. Силу тока в отдельной ветви обычно обозначают I₁, I₂ и так далее. Это обозначение помогает не смешивать токи ветвей с общим током цепи.

Общее сопротивление параллельно соединённых проводников — сопротивление одного проводника, которым можно заменить соединённые ветви без изменения тока и напряжения на участке. Его обозначают R, а сопротивления отдельных ветвей — R₁, R₂ и далее. Это понятие позволяет заменить сложный участок цепи одним эквивалентным сопротивлением и упростить расчёт. Эквивалентным называют именно такое сопротивление, которое действует на остальную цепь так же, как исходные ветви.

Как это устроено

Все параллельные ветви подключены к одной и той же паре точек цепи. Напряжение на участке — это разность электрических потенциалов между его концами, а концы у каждой ветви общие. Поэтому эта разность одинакова для всех проводников: U = U₁ = U₂ = … . Например, если источник поддерживает между узлами 6 В, то на каждой подключённой между ними ветви будет 6 В.

До разветвления ток идёт по общему участку, а в узле получает несколько путей. Заряды не исчезают и не накапливаются в узле: за одинаковое время к нему приходит столько же заряда, сколько уходит по всем отходящим ветвям. Поэтому сила тока в неразветвлённой части равна сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂ + … . После соединения ветвей токи снова объединяются.

Токи в ветвях не обязаны быть одинаковыми, потому что сопротивления ветвей могут различаться. На каждой из них напряжение U одно и то же, а по закону Ома I = U/R. При неизменном U увеличение сопротивления уменьшает ток, поэтому в ветви с меньшим сопротивлением течёт больший ток. Например, при одинаковом напряжении ток через резистор 3 Ом будет больше, чем через резистор 6 Ом.

Обозначим общее сопротивление участка через R. По закону Ома для всего участка I = U/R, а для ветвей I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂. Подставим эти выражения в правило сложения токов: U/R = U/R₁ + U/R₂ + … . Напряжение на всех ветвях одинаково и не равно нулю, поэтому обе части можно разделить на U; получаем формулу 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … .

Обратное сопротивление участка равно сумме обратных сопротивлений ветвей. При добавлении параллельной ветви к цепи появляется ещё один путь для тока, поэтому общий ток при том же напряжении увеличивается. Из закона Ома следует, что при большем токе и прежнем напряжении общее сопротивление меньше. Значит, сопротивление всего параллельного участка всегда меньше сопротивления каждой отдельной ветви.

Величины при параллельном соединении проводников

Сначала определи, какую величину нужно найти, и выбери соответствующую строку. Если известны сопротивления двух ветвей, быстрее применить формулу произведения, делённого на сумму. После расчёта проверь, что общее сопротивление меньше наименьшего сопротивления ветви.

Разбор задач

Задача 1. Два проводника подключены параллельно к источнику напряжением 6 В. Требуется найти напряжение на каждом проводнике. Поскольку оба проводника соединяют одни и те же точки, напряжение на них совпадает с напряжением источника. Здесь сопротивления ветвей для ответа не нужны.

1. Запишем свойство параллельных ветвей: U₁ = U₂ = U.
2. Подставим напряжение источника: U₁ = U₂ = 6 В.
3. Проверим, что искомое напряжение не делилось между проводниками: каждый подключён непосредственно к той же паре точек.

Ответ: на каждом проводнике напряжение равно 6 В.

Задача 2. Параллельно соединены резисторы сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом. Найдём общее сопротивление участка. Ветвей две, поэтому можно воспользоваться формулой R = R₁R₂/(R₁ + R₂). Она сразу даёт сопротивление участка, заменяющего оба резистора.

1. Подставим значения: R = 6 · 3/(6 + 3) Ом.
2. Вычислим произведение и сумму: R = 18/9 Ом = 2 Ом.
3. Сравним результат с сопротивлениями ветвей: 2 Ом меньше и 3 Ом, и 6 Ом, как должно быть при параллельном соединении.

Ответ: общее сопротивление равно 2 Ом.

Задача 3. Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно и подключены к источнику 12 В. Нужно определить токи в ветвях, общий ток и общее сопротивление. Сначала найдём ток каждой ветви отдельно, потому что напряжение на обеих известно. Затем используем правило сложения токов и закон Ома для всего участка.

1. По закону Ома найдём токи ветвей: I₁ = 12/4 = 3 А, I₂ = 12/12 = 1 А.
2. Сложим токи: I = I₁ + I₂ = 3 + 1 = 4 А.
3. Рассчитаем общее сопротивление участка: R = U/I = 12/4 = 3 Ом.
4. Проверим результат формулой для двух ветвей: R = 4 · 12/(4 + 12) = 48/16 = 3 Ом. Это меньше наименьшего сопротивления ветви, равного 4 Ом.

Ответ: токи в ветвях равны 3 А и 1 А, общий ток — 4 А, общее сопротивление — 3 Ом.

Типичные ошибки

Ошибка — складывать напряжения на параллельных ветвях. Так рассуждают по аналогии с последовательным соединением, где напряжение распределяется между элементами. В параллельной цепи ветви подключены к одной паре точек, поэтому напряжение на них одинаково. Проверь себя: если ветви соединены с теми же узлами, запиши U₁ = U₂, а не их сумму.

Ошибка — считать токи в ветвях одинаковыми. Это возможно только при одинаковых сопротивлениях, поскольку напряжение на ветвях одно, а ток зависит от сопротивления. При разных сопротивлениях ток больше в ветви с меньшим R. Для проверки рассчитай каждую ветвь по формуле I = U/R.

Ошибка — складывать сопротивления напрямую. Такое сложение применяют при последовательном соединении, а для параллельного нужно складывать обратные величины: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … . Путаница возникает потому, что в обоих случаях находят одно общее сопротивление. Проверь схему и формулу: для двух параллельных ветвей можно также воспользоваться выражением R = R₁R₂/(R₁ + R₂).

Ошибка — получить общее сопротивление больше сопротивления каждой ветви. При параллельном подключении добавляется путь для тока, поэтому общее сопротивление уменьшается, а не растёт. Такой результат часто указывает на неверно выбранную формулу или ошибку в вычислениях. Сравни ответ с наименьшим сопротивлением: R должно быть меньше него.

Связь с другими темами

Для расчёта параллельных цепей нужно знать закон Ома для участка цепи: I = U/R. Полезно также понимать, как измеряют ток и напряжение, чтобы правильно читать показания приборов. Напряжение измеряют между концами участка, а амперметр включают в ту часть цепи, ток которой измеряют.

Параллельное соединение удобно сравнивать с последовательным. В параллельной цепи напряжения ветвей равны, токи складываются, а общее сопротивление находят через сумму обратных величин. При последовательном соединении, напротив, одинаков ток, напряжения складываются, а сопротивления складывают напрямую.

Эти правила помогают разбирать электрические схемы с несколькими потребителями. Если в схеме есть параллельные участки, их можно заменить эквивалентным сопротивлением, а затем рассчитывать оставшуюся цепь. Так находят токи и напряжения в бытовых и учебных электрических схемах.

Что запомнить

• На всех параллельных ветвях напряжение одинаково.
• Общий ток равен сумме токов в ветвях.
• Сила тока в ветви определяется её сопротивлением и напряжением на ней.
• Для общего сопротивления используют равенство 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … .
• Общее сопротивление меньше сопротивления любой отдельной ветви.
• Для двух ветвей R = R₁R₂/(R₁ + R₂).