2. Энергия связи атомных ядер

Определения и обозначения

Дефект массы ядра — разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося ядра. Если в ядре Z протонов и N нейтронов, то Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя, где mₚ и mₙ — массы свободных протона и нейтрона, а mя — масса ядра. Это не масса самого ядра, а величина, показывающая, насколько его масса отличается от суммы масс отдельных частиц.

Энергия связи ядра — энергия, необходимая, чтобы полностью разделить ядро на свободные протоны и нейтроны. При обратном процессе, когда свободные нуклоны образуют ядро, такая же энергия выделяется. Понятие позволяет описывать, насколько прочно нуклоны удерживаются вместе.

Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δmc², где c — скорость света. Даже небольшой дефект массы соответствует значительной энергии, потому что скорость света возводится в квадрат и это очень большое число. При расчётах важно согласовать единицы массы и энергии: результат зависит от выбранных единиц.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: ε = Eсв/A, где A — массовое число, то есть общее количество протонов и нейтронов в ядре. Она нужна для сравнения ядер, содержащих разное количество нуклонов. Обычно чем больше удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.

Как это устроено

Масса связанного ядра меньше суммы масс свободных составляющих его нуклонов, потому что при образовании ядра выделяется энергия. Согласно E = mc², энергия и масса связаны, поэтому уменьшению энергии системы соответствует уменьшение её массы. Чем больше энергии выделилось при объединении частиц, тем больше разность между массой свободных нуклонов и массой ядра.

Чтобы найти дефект массы, сначала определяют состав ядра. Если указаны массовое число A и число протонов Z, то число нейтронов N = A − Z. Затем складывают массы Z свободных протонов и N свободных нейтронов, после чего из этой суммы вычитают массу ядра. Полученное значение и есть Δm; важно брать массу именно ядра, а не путать её с суммой масс нуклонов.

Формула Eсв = Δmc² переводит дефект массы в энергию. Если Δm выражена в килограммах, а c — в метрах в секунду, то энергия получится в джоулях. Если масса дана в атомных единицах массы, удобно умножить её на 931,5 МэВ: 1 а.е.м. · c² ≈ 931,5 МэВ. Нельзя подставлять в одну формулу величины в несогласованных единицах и оставлять результат без перевода.

Полная энергия связи обычно увеличивается с числом нуклонов, поэтому сама по себе она не даёт удобного сравнения ядер разного размера. Для этого делят её на массовое число и получают удельную энергию связи. Она показывает, сколько энергии в среднем приходится на один нуклон. Большая удельная энергия обычно означает, что в среднем нуклоны связаны прочнее, а ядро устойчивее.

На графике удельная энергия связи быстро растёт для лёгких ядер, достигает максимума в области ядер железа и затем медленно уменьшается. Поэтому при слиянии лёгких ядер или делении очень тяжёлых ядер могут возникать продукты с большей удельной энергией связи. Такие продукты связаны прочнее; разность энергии связи исходных частиц и продуктов может выделиться в виде энергии. Это объясняет возможность выделения энергии в обоих типах реакций.

Величины, характеризующие энергию связи ядра

Сначала определите, какая величина требуется в задаче, и выберите соответствующую строку. При вычислении энергии сначала найдите дефект массы, а для сравнения устойчивости разделите энергию связи на массовое число. Перед расчётом проверьте, что обозначения и единицы согласованы.

Разбор задач

Задача 1. В ядре углерода-12 шесть протонов и шесть нейтронов. По таблице масс найдите сумму масс свободных нуклонов и дефект массы, если масса ядра равна 11,9967 а.е.м., масса протона — 1,00728 а.е.м., а масса нейтрона — 1,00866 а.е.м. Сначала важно правильно определить количество частиц каждого вида.

1. Число протонов Z = 6, массовое число A = 12, поэтому число нейтронов N = A − Z = 6.
2. Сумма масс свободных нуклонов равна 6 · 1,00728 + 6 · 1,00866 = 12,09564 а.е.м.
3. Из суммы вычитаем массу ядра: Δm = 12,09564 − 11,9967 = 0,09894 а.е.м.

Ответ: сумма масс свободных нуклонов равна 12,09564 а.е.м., дефект массы — примерно 0,09894 а.е.м. Положительное значение подтверждает, что ядро легче свободных нуклонов вместе.

Задача 2. Дефект массы ядра равен 0,002 а.е.м. Найдите энергию связи в МэВ. Поскольку масса задана в атомных единицах, не требуется сначала переводить её в килограммы: можно воспользоваться известным соответствием 1 а.е.м. · c² ≈ 931,5 МэВ.

1. Записываем связь энергии и дефекта массы: Eсв = Δmc².
2. Переводим величину в удобную энергетическую единицу: Eсв ≈ 0,002 · 931,5 МэВ.
3. Выполняем умножение: Eсв ≈ 1,863 МэВ.

Ответ: энергия связи составляет примерно 1,86 МэВ. Если в условии требуется ответ в джоулях, следует вместо коэффициента перевода использовать значения Δm в килограммах и c в метрах в секунду.

Задача 3. Сравните устойчивость ядра X с A = 20 и Eсв = 160 МэВ и ядра Y с A = 40 и Eсв = 320 МэВ. Определите, может ли переход к более устойчивым ядрам сопровождаться выделением энергии. По одной только полной энергии сравнивать ядра нельзя: у них разное количество нуклонов.

1. Находим удельную энергию ядра X: εX = 160/20 = 8 МэВ/нуклон.
2. Находим удельную энергию ядра Y: εY = 320/40 = 8 МэВ/нуклон. По этим данным ядра имеют одинаковую удельную энергию связи, поэтому нельзя утверждать, что одно из них устойчивее другого.
3. Для вывода о выделении энергии в конкретной реакции нужно сравнить суммарные энергии связи исходных ядер и продуктов. Если у продуктов полная энергия связи больше, разность может выделиться; одного сравнения удельных значений недостаточно.

Ответ: удельные энергии связи X и Y равны, по ним устойчивость одинакова. Возможность выделения энергии в реакции определяется изменением полной энергии связи всей системы, а не только тем, какое из двух отдельных ядер имеет большую массу или энергию связи.

Типичные ошибки

Первая ошибка — принимать дефект массы за массу ядра. Их смешивают, потому что обе величины относятся к массе, но дефект — это разность, вычисляемая из двух масс. Проверьте себя: в формуле Δm обязательно есть сумма масс свободных нуклонов и масса ядра, а не одно значение.

Вторая ошибка — складывать неверное число масс протонов и нейтронов. Часто число нейтронов путают с массовым числом, хотя A включает и протоны, и нейтроны. Сначала найдите N = A − Z, а затем проверьте, что Z + N = A.

Третья ошибка — считать энергию связи отдельной энергией, которую ядро уже содержит как добавку. На деле это энергия, которую нужно сообщить ядру, чтобы полностью разделить его на свободные нуклоны; при образовании ядра такая энергия выделяется. Для проверки представьте обратный процесс распада на отдельные частицы и спросите, сколько энергии для него потребуется.

Четвёртая ошибка — сравнивать устойчивость ядер только по полной энергии связи. У более крупного ядра она может быть больше просто потому, что в нём больше нуклонов. Сравните Eсв/A у каждого ядра: удельная энергия связи учитывает размер и позволяет сделать более содержательный вывод об устойчивости.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны знания о составе атомного ядра, числе протонов Z и массовом числе A. По ним находят число нейтронов: N = A − Z. Закон сохранения энергии помогает понять, куда переходит энергия при образовании или превращении ядер.

Соотношение E = mc² связывает массу с энергией и объясняет, почему дефект массы соответствует энергии связи. Поэтому для расчёта важно правильно выбрать единицы и учитывать коэффициент c². Эти знания развивают представление о том, что масса и энергия могут переходить друг в друга.

Энергия связи понадобится при изучении ядерных реакций. Сравнение энергий связи исходных частиц и продуктов помогает объяснить выделение энергии при делении тяжёлых ядер и синтезе лёгких. Удельная энергия связи подсказывает, в каком направлении продукты могут стать устойчивее.

Что запомнить

• Ядро легче суммы масс составляющих его свободных нуклонов.
• Дефект массы равен разности масс свободных нуклонов и ядра.
• Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δmc².
• Энергия связи — энергия, необходимая для разделения ядра на свободные нуклоны.
• Удельная энергия связи равна энергии связи, делённой на число нуклонов.
• Более высокая удельная энергия связи обычно соответствует большей устойчивости ядра.