2. Энергия связи атомных ядер

Определения и обозначения

Энергия связи атомного ядра — энергия, необходимая для полного разделения ядра на свободные протоны и нейтроны. При образовании ядра из свободных нуклонов выделяется такое же количество энергии. Поэтому эта величина показывает прочность удержания нуклонов внутри ядра.

Дефект массы — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра: Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя. Здесь Z — число протонов, N — число нейтронов, mₚ и mₙ — их массы, а mя — масса ядра. Дефект нужен, чтобы по измеряемым массам определить энергию связи.

Связь массы и энергии задаётся соотношением Эйнштейна: Eсв = Δmc², где c — скорость света в вакууме. Энергию связи можно выражать в джоулях или мегаэлектронвольтах, МэВ. Выбор единицы зависит от условия задачи и удобства расчётов.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: εсв = Eсв/A, где A = Z + N — массовое число. Она показывает среднюю прочность связи одного нуклона с остальными. Поэтому именно её используют для корректного сравнения ядер разного размера.

Как это устроено

Свободные протоны и нейтроны обладают большей суммарной массой, чем те же нуклоны в связанном ядре. При сближении нуклоны переходят в состояние с меньшей энергией, а избыток энергии уносится излучением или энергией других частиц. Согласно E = mc², уменьшению энергии соответствует уменьшение массы, поэтому масса ядра меньше суммы масс свободных нуклонов.

В ядре содержатся Z протонов и N нейтронов, поэтому сумма масс свободных частиц равна Zmₚ + Nmₙ. Если из неё вычесть массу готового ядра mя, получится Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя. Затем дефект массы умножают на c² и получают Eсв = Δmc², то есть эквивалент выделившейся энергии.

Полная энергия связи увеличивается вместе с числом нуклонов, поэтому крупное ядро может иметь большую Eсв просто из-за своего размера. Это не означает, что каждый его нуклон связан сильнее. Деление Eсв на A устраняет влияние количества частиц и позволяет сравнивать среднюю прочность разных ядер.

Для лёгких ядер добавление нуклонов быстро увеличивает удельную энергию связи: в маленьком ядре каждый новый нуклон получает много соседей. У ядер средней массы достигается максимум, примерно 8–9 МэВ на нуклон. В тяжёлых ядрах рост кулоновского отталкивания протонов ослабляет среднюю связь, поэтому εсв постепенно уменьшается.

Если после реакции образуются ядра с большей суммарной энергией связи, их масса оказывается меньше массы исходных частиц. Разность превращается в кинетическую энергию осколков, излучение и энергию вылетающих частиц. Поэтому слияние лёгких ядер и деление тяжёлых ядер могут быть энергетически выгодными.

Величины, характеризующие энергию связи ядра

Сначала определите, какая величина известна в условии и что требуется найти. Если дана масса ядра, используйте формулу дефекта массы, затем связь массы и энергии; если дана Eсв, для удельной величины разделите её на A. Следите, чтобы единицы массы и энергии были согласованы.

Разбор задач

Задача 1. Для ядра с Z = 2 и N = 2 даны mₚ = 1,0073 а. е. м., mₙ = 1,0087 а. е. м. и mя = 4,0015 а. е. м. Найдём дефект массы и энергию связи.

1. Вычислим массу свободных нуклонов: 2mₚ + 2mₙ = 2 · 1,0073 + 2 · 1,0087 = 4,0320 а. е. м.
2. Найдём дефект массы: Δm = 4,0320 − 4,0015 = 0,0305 а. е. м. Положительный результат подтверждает, что масса ядра меньше.
3. Переведём дефект в энергию, используя 1 а. е. м. · c² ≈ 931,5 МэВ: Eсв ≈ 0,0305 · 931,5 ≈ 28,4 МэВ.

Ответ: Δm = 0,0305 а. е. м., Eсв ≈ 28,4 МэВ. Если нужна энергия в джоулях, результат в МэВ умножают на 1,602 · 10⁻¹³.

Задача 2. Энергия связи ядра равна 492 МэВ, а массовое число A = 56. Определим энергию связи одного нуклона.

1. Используем определение удельной энергии: εсв = Eсв/A.
2. Подставим данные: εсв = 492/56 ≈ 8,79 МэВ/нуклон.
3. Проверим единицы: МэВ делится на число нуклонов, поэтому результат выражается в МэВ/нуклон.

Ответ: εсв ≈ 8,79 МэВ/нуклон. Эта величина удобна для сравнения с другими ядрами, даже если их массовые числа отличаются.

Задача 3. При реакции исходные ядра имеют суммарную энергию связи 1700 МэВ, а конечные — 1760 МэВ. Определим энергетический эффект.

1. Сравним связи: ΔEсв = 1760 − 1700 = 60 МэВ.
2. Суммарная энергия связи увеличилась, значит конечные ядра связаны прочнее.
3. По закону сохранения энергии 60 МэВ выделится в виде кинетической энергии и излучения.

Ответ: выделится примерно 60 МэВ. При уменьшении суммарной энергии связи, наоборот, потребовалось бы поглощение энергии.

Типичные ошибки

Иногда дефект считают как mя − (Zmₚ + Nmₙ), получая отрицательное число. Дефект массы по определению берут в обратном порядке: сумма масс свободных нуклонов минус масса ядра. Проверка проста: для связанного ядра Δm должна быть положительной.

Другая ошибка — учитывать только протоны или только нейтроны. В ядре есть оба вида нуклонов, поэтому масса свободных частиц равна Zmₚ + Nmₙ. Перед подстановкой выпишите отдельно Z и N.

Энергию связи часто путают с удельной энергией связи. Первая относится ко всему ядру, а вторая получается делением на A и относится к одному нуклону. Проверяйте, есть ли в единице измерения пометка «на нуклон».

Нельзя считать, что любое деление тяжёлого ядра автоматически даёт энергию. Нужно сравнить суммарные энергии связи до и после реакции: выделение происходит при их увеличении. Если связь уменьшается, реакция требует подвода энергии.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны состав атомного ядра, зарядовое число Z, число нейтронов N и массовое число A, связанное формулой A = Z + N. Эти обозначения показывают, сколько частиц участвует в образовании ядра.

В расчётах используется связь массы и энергии E = mc², а также перевод между джоулями и электронвольтами. Удобное соотношение 1 а. е. м. · c² ≈ 931,5 МэВ сокращает вычисления.

Энергия связи понадобится при изучении радиоактивности, ядерных реакций, деления тяжёлых ядер и термоядерного синтеза. Она помогает понять, откуда берётся энергия ядерных превращений.

Что запомнить

• Энергия связи — энергия, необходимая для разделения ядра на свободные нуклоны.
• Дефект массы равен сумме масс свободных нуклонов минус масса ядра.
• Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δmc².
• Удельная энергия связи равна энергии связи, делённой на число нуклонов.
• У ядер средней массы удельная энергия связи близка к максимальной.
• Слияние лёгких ядер и деление тяжёлых ядер могут сопровождаться выделением энергии.