§ 7.13. Энергия связи атомных ядер

Определения и обозначения

Дефект массы — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра: Δm. Нуклоны — это протоны и нейтроны. Дефект показывает, насколько масса связанного ядра отличается от массы тех же частиц вне ядра.

Энергия связи атомного ядра — минимальная энергия Eсв, необходимая для полного разделения ядра на отдельные протоны и нейтроны. Столько же энергии выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов. Величина характеризует прочность удержания нуклонов ядерными силами.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: Eсв/A. Здесь A — массовое число, то есть общее число протонов и нейтронов. Эта величина нужна, чтобы корректно сравнивать ядра разного размера.

Массово-энергетическая эквивалентность связывает массу и энергию формулой E = mc², где c — скорость света. Даже очень малая масса соответствует огромной энергии из-за большого множителя c². Поэтому небольшой дефект массы ядра может давать энергию, измеряемую в МэВ.

Как это устроено

Свободные протоны и нейтроны, собранные вместе, образуют более связанную систему. При этом система переходит в состояние с меньшей энергией, а избыток энергии уносится, например, излучением. По формуле E = mc² меньшей энергии соответствует меньшая масса, поэтому масса ядра оказывается меньше суммы масс свободных нуклонов.

Разность масс не исчезает бесследно и не означает потерю отдельных частиц. Она соответствует энергии связи: чтобы разорвать ядро, нужно сообщить ему энергию, равную этой разности масс, умноженной на c². Поэтому из определения дефекта массы непосредственно получают формулу Eсв = Δmc².

В справочниках часто указаны массы нейтральных атомов, а не голых ядер. Тогда удобно использовать массу атома водорода: в ней уже есть один протон и один электрон, а число электронов слева и справа формулы одинаково и сокращается. Для ядра с зарядовым числом Z формула имеет вид Δm = Zmₕ + (A − Z)mₙ − mатома.

Если известны массы протона и нейтрона, можно работать непосредственно с массой ядра: Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mядра. Здесь Z задаёт число протонов, а A − Z — число нейтронов. Для получения энергии в джоулях массу берут в килограммах, а при использовании атомных единиц массы удобно применять соотношение 1 а.е.м. ≈ 931,5 МэВ/c².

Полная энергия связи растёт вместе с числом нуклонов, поэтому сама по себе плохо показывает устойчивость ядер разного размера. Деление Eсв на A даёт среднюю энергию, приходящуюся на один нуклон. Для лёгких ядер она быстро увеличивается, достигает максимума около железа, а у тяжёлых ядер постепенно уменьшается: этим объясняется энергетическая выгодность синтеза и деления.

Основные величины, характеризующие энергию связи ядра

Сначала определите A и Z, затем выберите формулу с массами ядер или атомов одного типа. После нахождения Δm вычислите полную энергию связи, а для сравнения ядер разделите её на A. В реакции сравнивают суммарные массы всех исходных и конечных частиц: положительное Q означает выделение энергии.

Разбор задач

Дефект массы и энергия связи ядра гелия-4

Условие. В ядре гелия-4 находятся два протона и два нейтрона. Пусть mₚ = 1,007276 а.е.м., mₙ = 1,008665 а.е.м., а масса ядра mядра = 4,001506 а.е.м.; найти Δm и Eсв.

1. Число нуклонов подтверждает A = 2 + 2 = 4. Масса свободных частиц равна 2mₚ + 2mₙ = 4,031882 а.е.м.
2. Вычитаем массу связанного ядра: Δm = 4,031882 − 4,001506 = 0,030376 а.е.м. Полученная положительная разность показывает наличие энергии связи.
3. Переводим дефект массы в энергию: Eсв = 0,030376 · 931,5 ≈ 28,3 МэВ. В джоулях это около 4,53 · 10⁻¹² Дж.

Ответ: Δm ≈ 0,0304 а.е.м.; Eсв ≈ 28,3 МэВ. При вычислениях важно использовать именно массу ядра, а не нейтрального атома.

Энергия связи углерода-12 по атомной массе

Условие. Для атома углерода-12 известна масса mатома = 12 а.е.м. Найти дефект массы, полную и удельную энергию связи, если mₕ = 1,007825 а.е.м., а mₙ = 1,008665 а.е.м.

1. У углерода Z = 6, A = 12, поэтому нейтронов A − Z = 6. Используем атомную, а не ядерную массу: Δm = 6mₕ + 6mₙ − mатома.
2. Подстановка даёт Δm = 6 · 1,007825 + 6 · 1,008665 − 12 ≈ 0,09894 а.е.м. Электроны не требуют отдельного учёта, поскольку шесть атомов водорода и атом углерода содержат одинаковое число электронов.
3. Полная энергия связи Eсв ≈ 0,09894 · 931,5 ≈ 92,1 МэВ. Делим её на A: Eсв/A ≈ 92,1/12 ≈ 7,68 МэВ/нуклон.

Ответ: Δm ≈ 0,0989 а.е.м.; Eсв ≈ 92,1 МэВ; удельная энергия связи ≈ 7,68 МэВ/нуклон.

Энергия синтеза четырёх ядер водорода

Условие. Оценим реакцию образования атома гелия из четырёх атомов водорода. Пусть mₕ = 1,007825 а.е.м., а масса атома гелия-4 mHe = 4,002603 а.е.м.; найти выделившуюся энергию.

1. Суммарная масса исходных атомов равна 4mₕ = 4,031300 а.е.м. Такая запись удобна: число электронов до и после реакции одинаково.
2. Дефект массы реакции Δm = 4,031300 − 4,002603 = 0,028697 а.е.м. Он положителен, значит конечная система имеет меньшую массу и реакция может выделить энергию.
3. Энергия равна Q = 0,028697 · 931,5 ≈ 26,7 МэВ, или примерно 4,28 · 10⁻¹² Дж на один акт реакции. Для массы вещества результат умножают на число реакций N, где N находят через количество вещества и число Авогадро.

Ответ: при образовании одного атома гелия выделяется примерно 26,7 МэВ. Реальная цепочка реакции включает дополнительные частицы, но принцип расчёта остаётся тем же: сравниваются массы исходных и конечных участников.

Типичные ошибки

Считать дефект массы потерей вещества. Дефект — не исчезновение нуклонов, а разность масс свободных и связанных частиц. Проверьте себя: после вычисления масса свободных нуклонов должна быть больше массы ядра.

Смешивать массы ядер и атомов. В атомных массах присутствуют электроны, поэтому их нельзя бездумно подставлять вместо ядерных. Используйте либо массы протона, нейтрона и ядра, либо формулу с массой атома водорода.

Путать полную и удельную энергию связи. Полная энергия относится ко всему ядру, а удельная — к одному нуклону. Если требуется Eсв/A, обязательно разделите найденное значение на массовое число A.

Неверно переводить единицы. Дефект в а.е.м. нельзя напрямую называть энергией в МэВ без коэффициента 931,5. Перед ответом проверьте, указаны ли единицы массы, энергии и нужная точность результата.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны состав атомного ядра, массовое число A, зарядовое число Z, понятие изотопов и формула E = mc². Энергия связи объясняет, почему одни ядра устойчивее других и откуда берётся энергетический выход ядерных реакций. Далее эти идеи применяются при изучении радиоактивности, деления тяжёлых ядер и термоядерного синтеза.

Что запомнить

• Связанное ядро имеет меньшую массу, чем сумма свободных нуклонов.
• Дефект массы превращается в энергию связи по формуле Eсв = Δmc².
• Чем больше энергия связи, тем труднее разделить ядро на нуклоны.
• Для сравнения ядер используют удельную энергию связи Eсв/A.
• Наибольшая удельная энергия связи характерна для ядер средней массы, близких к железу.
• Синтез лёгких и деление тяжёлых ядер могут сопровождаться выделением энергии.
• При ядерных реакциях нужно сравнивать суммарные массы исходных и конечных частиц.