"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Длину дороги, массу покупки, время в пути и площадь комнаты можно измерить и выразить числом с единицей. Такие свойства предметов и явлений называют величинами. Число в записи зависит от того, какую единицу выбрали: одно расстояние можно указать в метрах или сантиметрах. Чтобы правильно сравнивать и вычислять величины, нужно приводить их к общей единице и помнить, что складывать и вычитать можно только величины одного рода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однородные величины — величины одного рода, которые можно сравнивать и выражать в одних единицах. Например, длины двух лент можно записать в сантиметрах, а площади двух комнат — в квадратных метрах. Понятие помогает определить, какие величины допустимо сравнивать и складывать.
Единица измерения — величина, принятая за единицу при измерении. Для длины такими единицами служат метр и сантиметр, для массы — килограмм и грамм. Выбор единицы влияет на число в записи: расстояние в метрах и сантиметрах выражается разными числовыми значениями.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в величине. Например, в длине 3 м числовое значение равно 3, если единица — метр, и 300, если единица — сантиметр. Это понятие нужно, чтобы понимать, что само число без единицы не описывает измеренную величину полностью.
Измерить величину — значит сравнить её с выбранной единицей и определить числовое значение. Например, чтобы измерить отрезок в сантиметрах, выясняют, сколько сантиметров укладывается в его длине. Так получают запись, состоящую из числа и единицы, например 12 см.
Величины описывают свойства предметов и явлений, которые можно сравнивать и измерять. У отрезка измеряют длину, у груза — массу, у события — время, у поверхности — площадь. Измерение позволяет заменить описание вроде «долго» или «широко» точными данными. Поэтому величины нужны и в математических задачах, и в повседневных расчётах.
Результат измерения записывают числом и единицей, потому что они сообщают разную информацию: число показывает количество единиц, а единица задаёт меру. Одно и то же расстояние можно записать как 2 м или 200 см. Числа различаются, поскольку сантиметр в сто раз меньше метра, а значит, в том же расстоянии содержится больше сантиметров. Если оставить только число, нельзя понять, какой отрезок измерен.
Равные однородные величины имеют одинаковые числовые значения, если выражены в одной единице. Например, 2 м и 200 см — равные длины, но их числа 2 и 200 нельзя сопоставлять напрямую: единицы разные. Поэтому перед сравнением записи приводят к общей единице и только тогда сравнивают числовые значения. Это исключает ошибку, когда выбирают большую величину только по большему числу.
Однородные величины складывают и вычитают, потому что они описывают одно и то же свойство и могут составить общую величину или её часть. Если соединить ленты длиной 1 м и 30 см и 50 см, их длины складываются; если отрезать часть ленты, длину остатка находят вычитанием. Величину можно умножить на число, например узнать длину четырёх одинаковых отрезков, или разделить на число, чтобы поровну распределить длину. В результате единица измерения сохраняется.
При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, потому что одна и та же величина содержит больше мелких единиц. Так как 1 м = 100 см, 4 м = 400 см: число умножили на 100. При переходе от сантиметров к метрам число, наоборот, делят на 100. Это правило удобно проверять вопросом: должна ли в выбранных единицах получиться одна и та же длина?
| Действие или понятие | Что оно означает | Пример |
|---|---|---|
| Измерение величины | Сравнение величины с выбранной единицей | Длина отрезка — 12 см |
| Запись результата измерения | Число вместе с единицей измерения | 2 м, а не просто 2 |
| Переход к другой единице | Замена единицы с пересчётом числового значения | 3 м = 300 см |
| Сравнение однородных величин | Приведение записей к общей единице и сравнение чисел | 2 м = 200 см, значит 200 см < 250 см |
| Сложение и вычитание однородных величин | Нахождение общей величины или её части | 40 см + 20 см = 60 см |
| Умножение или деление величины на число | Изменение величины в несколько раз или равное распределение | 3 · 2 м = 6 м |
Сначала определите, какие величины даны и однородны ли они. Для сравнения или вычисления с разными единицами выберите общую единицу и пересчитайте записи. После действия проверьте, что ответ содержит подходящую единицу измерения.
Задача 1. Выразите 3 м 40 см в сантиметрах. Здесь дана одна длина, но она записана в двух единицах. Чтобы получить ответ в сантиметрах, нужно сначала заменить метры равным количеством сантиметров, а затем учесть уже имеющиеся сантиметры.
Ответ: 340 см. Проверка: результат больше 300 см, потому что исходная длина больше 3 м.
Задача 2. Сравните 2,5 кг и 2400 г. Это однородные величины — обе выражают массу, но единицы разные. Сравнивать числа 2,5 и 2400 напрямую нельзя, поэтому переведём одну из масс в единицу другой записи.
Ответ: 2,5 кг > 2400 г. Значит, масса 2,5 кг больше на 100 г.
Задача 3. Из двух кусков ленты длиной 1 м 35 см и 85 см составили одну ленту. Найдите её длину в метрах и сантиметрах. При соединении кусков длины складываются, но перед сложением удобно выразить обе длины в сантиметрах. После вычисления вернёмся к записи с метрами и сантиметрами, которую просит условие.
Ответ: длина составленной ленты — 2 м 20 см. Проверка: 2 м 20 см — это 220 см, то есть сумма длин исходных кусков.
Сравнивают числа в записях с разными единицами, например считают, что 250 см больше 3 м из-за того, что 250 больше 3. Так происходит, когда внимание обращают только на числа. Перед сравнением переведите величины в одну единицу: 3 м = 300 см, поэтому 3 м больше 250 см.
При переводе в более мелкую единицу делят числовое значение, хотя его нужно умножить. Ошибку допускают, если помнят соотношение единиц, но не связывают его с размером единицы. Проверьте направление: сантиметров в том же отрезке больше, чем метров, поэтому 2 м должны превратиться в 200 см, а не в 0,02 см.
Складывают или вычитают неоднородные величины, например длину и массу. Причина — попытка применить знакомое действие к любым числам, не учитывая смысл единиц. Спросите себя, могут ли слагаемые описывать одну величину: две длины складываются, а метры с килограммами — нет.
Записывают результат только числом или только единицей. Это случается, когда после вычислений считают запись очевидной, но число без единицы не показывает, что измерено. Проверьте ответ: в нём должны быть оба элемента, например 7 м или 300 г.
Для работы с величинами нужны натуральные и десятичные числа, действия с ними и знание соотношений между единицами длины, массы и времени. Без этого не получится правильно пересчитать числовое значение или выполнить вычисление. Полезно заранее вспоминать, во сколько раз одна единица больше другой.
Измерение и перевод единиц встречаются в задачах на периметр, площадь, время и расстояние. Чтобы получить верный результат, нужно правильно выбрать единицы и привести записи к общим. Так числовые действия получают смысл в конкретной задаче.
Представление о числовом значении и единице пригодится при изучении скорости и других величин, которые получают из нескольких измерений. Например, скорость связывает расстояние и время. Понимание единиц помогает не только вычислить ответ, но и проверить, что он выражен осмысленно.
Почему одно и то же расстояние можно записать разными числами?
Число показывает, сколько раз выбранная единица содержится в расстоянии. Чем мельче единица, тем больше раз она помещается в том же отрезке. Например, 2 м — это 200 см.
Можно ли сравнить 3 м и 250 см, не переводя их в одну единицу?
Сравнивать напрямую числа 3 и 250 нельзя: они относятся к разным единицам. Переведём 3 м в сантиметры: получим 300 см, а значит, 3 м > 250 см. Можно также перевести 250 см в метры.
Почему длину и массу нельзя складывать?
Длина и масса — величины разных родов: у них разные единицы и разный смысл. Например, выражение 2 м + 3 кг не описывает длину или массу. Складывать можно однородные величины, например две длины.
Как понять, умножать или делить при переводе единиц?
Если переходим к более мелкой единице, числовое значение увеличивается: метры в сантиметры переводят умножением на 100. При переходе к более крупной единице число уменьшается, поэтому сантиметры в метры переводят делением на 100. Полезно проверить, соответствует ли направление изменения размера единицы.
Что обязательно нужно указать в ответе при измерении величины?
Нужно записать и числовое значение, и единицу измерения. Например, запись «5» не сообщает, что именно измерено и в каких единицах; запись «5 м» задаёт результат измерения длины.
Величины
