Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — множество точек на плоскости, которое можно рассматривать как единое целое. Например, отрезок или круг состоят из множества точек, но воспринимаются как одна фигура. Это определение помогает описывать не отдельные точки, а формы и их свойства.

Точка, прямая и плоскость — основные геометрические объекты. Точку обозначают одной прописной латинской буквой A, прямую — строчной буквой a или двумя точками A и B, а плоскость часто обозначают греческой буквой α. Эти объекты служат основой для построения и объяснения остальных фигур.

Отрезок и луч — части прямой. Отрезок имеет два конца, например AB, а луч имеет начало и продолжается в одну сторону, например луч OA. Различие границ позволяет понимать, можно ли измерить фигуру целиком и в каких направлениях она продолжается.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а сами лучи — сторонами угла; угол AOB имеет вершину O и стороны OA и OB. Такое обозначение показывает не только стороны, но и то, какая точка является вершиной.

Как это устроено

Точка, прямая и плоскость считаются исходными понятиями, потому что их нельзя строго определить через более простые геометрические объекты. Мы можем описать точку как положение, прямую как линию без концов, а плоскость как ровную поверхность, но это будут только наглядные пояснения. Если пытаться дать определение через другие фигуры, пришлось бы снова использовать уже известные понятия. Поэтому свойства исходных объектов принимают за основу построения геометрии.

Отрезок получают из прямой, выбрав на ней две точки и оставив часть между ними. Луч получают, выбрав одну начальную точку: от неё прямая часть продолжается только в одном направлении. У прямой нет границ, у луча одна граница, а у отрезка две, поэтому длину отрезка можно измерить обычным числом, а прямая и луч не имеют конечной длины. Отрезок обозначают двумя концами AB, луч — началом и другой точкой OA, а прямую — двумя точками или отдельной строчной буквой.

Угол образуется, когда два луча имеют общее начало и расходятся в разных направлениях. Общая точка называется вершиной, потому что именно из неё выходят обе стороны угла. Внутренняя область угла состоит из точек, расположенных между его сторонами, если мысленно двигаться от одного луча к другому. Поэтому при распознавании угла нужно найти два луча, их общую точку и пространство между ними.

Многоугольник распознают по числу сторон и вершин: у треугольника три стороны и три вершины, у четырёхугольника — четыре, и так далее. Стороны — это отрезки, соединённые последовательно, а соседние стороны образуют углы. Ломаная может быть незамкнутой, если её первая и последняя вершины не соединены, поэтому такая фигура многоугольником не является. Для многоугольника также важно отсутствие самопересечений.

Окружность состоит из точек, находящихся на одном и том же расстоянии от центра; это расстояние называют радиусом. Круг включает окружность и все точки внутри неё, поэтому круг является частью плоскости, а окружность — линией, ограничивающей эту часть. Если провести отрезок от центра до любой точки окружности, получится радиус. Такое различие нужно для правильного выбора формулы: длину окружности находят для линии, а площадь круга — для всей внутренней области.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала по рисунку определите, есть ли у фигуры концы, начало или замкнутая граница. Затем проверьте её основные элементы: у угла ищите вершину и стороны, у многоугольника — стороны и вершины, у окружности — центр и радиус. В последнем столбце показан удобный способ записи названия фигуры.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A, B и C. Через них проведены соответствующие линии. Нужно назвать все изображённые отрезки и лучи. Для решения важно учитывать не только выбранные точки, но и направление линии, если это луч.

1. Для отрезка выписываем две его конечные точки. Если на одном отрезке отмечены A и B, получаем отрезок AB, причём запись BA обозначает тот же отрезок.
2. Для луча сначала указываем его начало, а затем любую другую отмеченную точку на этом луче. Если начало находится в A, запись будет луч AB, а запись луч BA будет обозначать уже другой луч и может быть неверной.
3. Проверяем, какая фигура действительно изображена: наличие двух концов означает отрезок, а наличие одного начала и продолжения в одну сторону — луч.

Ответ: отрезки называют по двум концам, а лучи — по началу и второй точке в направлении луча. Например, при отрезке AB и лучах AC и BC ответом будут AB, луч AC и луч BC, если именно такие фигуры показаны на рисунке.

Задача 2

Даны два луча OA и OB. Нужно назвать угол, указать его вершину и определить, какие точки лежат внутри угла. Общая начальная точка лучей сразу подсказывает главную часть решения.

1. Находим общую точку лучей OA и OB. Это точка O, поэтому она является вершиной угла.
2. Записываем название с вершиной в середине: ∠AOB или ∠BOA. Оба обозначения верны, потому что задают те же стороны OA и OB.
3. Проверяем положение точек: точка внутри угла должна находиться между его сторонами, а не на одной из сторон и не снаружи.

Ответ: угол можно назвать ∠AOB, его вершина — O, стороны — OA и OB. Внутренними считаются точки, лежащие в области между лучами; точки на сторонах обычно называют лежащими на сторонах угла.

Задача 3

Из отрезков заданной длины составили замкнутую фигуру. Требуется определить, является ли она многоугольником, и назвать число сторон, вершин и углов. Одной замкнутости недостаточно: нужно проверить ещё отсутствие самопересечений.

1. Проверяем, соединена ли последняя вершина с первой. Если соединения нет, получилась незамкнутая ломаная, а не многоугольник.
2. Проверяем, не пересекаются ли несоседние звенья. Если есть такое пересечение, фигура не соответствует обычному определению многоугольника.
3. Считаем отрезки, из которых состоит граница. Столько же будет сторон, вершин и углов, потому что каждая сторона соединяет две соседние вершины.

Ответ: если фигура замкнута и не имеет самопересечений, она является многоугольником. Например, замкнутая ломаная из пяти отрезков имеет пять сторон, пять вершин и пять углов, то есть является пятиугольником.

Типичные ошибки

Отрезок иногда называют прямой или лучом, потому что смотрят только на его направление. Ошибка в том, что у отрезка обязательно два конца, тогда как у луча один, а у прямой нет ни одного. Проверить себя можно вопросом: где заканчивается фигура с каждой стороны?

Угол обозначают двумя буквами или ставят вершину не в середине записи. Так теряется информация о том, какие два луча образуют угол и какая точка у них общая. Проверьте обозначение: оно должно содержать три буквы, а общая точка сторон должна стоять второй.

Окружность путают с кругом, считая окружностью всю внутреннюю область. На самом деле окружность — только линия границы, а круг включает и границу, и область внутри неё. Для проверки представьте, можно ли выделить у фигуры внутренние точки: у круга они есть, у окружности рассматриваются только точки линии.

Незамкнутую ломаную называют многоугольником, забывая о соединении первой и последней вершин. Причина ошибки — похожий вид звеньев, хотя у многоугольника граница должна образовывать замкнутую фигуру. Проверьте, возвращается ли ломаная в начальную вершину и нет ли самопересечений.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь различать точку, линию и поверхность, читать буквенные обозначения и пользоваться линейкой. Эти навыки позволяют правильно строить и распознавать фигуры.

Понятия отрезка и угла понадобятся при изучении длины отрезков и видов углов. Многоугольники используются при нахождении периметра и площади.

Окружность и круг связаны с радиусом и диаметром. Позже они помогут изучать длину окружности и площадь круга.

Что запомнить

• Точка обозначается одной заглавной буквой.
• Прямая не имеет концов, луч имеет один конец, а отрезок — два.
• Угол состоит из двух лучей с общей вершиной.
• Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений.
• Окружность — граница круга.
• Название угла записывают тремя буквами, причём буква вершины стоит в середине.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.