Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — геометрическая фигура, у которой нет размеров: она не занимает длину, ширину или площадь. Точки обозначают прописными латинскими буквами, например A, B или O. На чертеже точку обычно показывают маленькой отметкой, а букву ставят рядом. Точки нужны, чтобы точно указывать места, например концы отрезка или вершину угла.

Прямая — линия, которая продолжается бесконечно в обе стороны. Её обозначают строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: прямая a или прямая AB. На рисунке можно изобразить только конечный кусок линии, потому что лист имеет границы. Такой кусок служит условным изображением прямой, а не показывает её концы.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают их буквами, например AB. На чертеже его проводят от одной конечной точки до другой. Отрезок нужен, когда рассматривают ограниченную часть линии или сравнивают расстояния между точками.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Если лучи OA и OB имеют начало O, получается угол AOB; при записи ∠AOB букву вершины ставят посередине. Угол помогает описывать раскрытие между направлениями, а его величину можно сравнить с величиной другого угла.

Как это устроено

Буквенные обозначения позволяют говорить о фигуре коротко и однозначно: по буквам можно определить, какие точки или части чертежа имеются в виду. Например, прямая AB проходит через точки A и B, а отрезок AB ограничен именно ими. На рисунке прямая всё равно выглядит конечной, потому что её рисуют на листе, но мысленно продолжают за края нарисованной линии. Поэтому для прямой важна идея бесконечного продолжения, а не длина штриха на странице.

Чтобы выделить отрезок на прямой, отмечают на ней две точки и рассматривают только часть между ними. Отмеченные точки становятся концами, так что за пределами отрезка линия в его состав не входит. Длину отрезка сравнивают измерением линейкой или наложением: при наложении совмещают один конец с другим и смотрят, где окажутся вторые концы. Так сравнивают сами длины, а не то, насколько длинно отрезки нарисованы на схеме.

Если на прямой отметить одну точку, она разделит линию на две части, направленные в противоположные стороны. Каждая часть с этой точкой образует луч: точка становится его началом, а линия продолжается от неё без конца. Луч обозначают двумя буквами, например OA, где первая буква указывает начало, а вторая — точку, через которую проходит луч. У луча только один конец, потому что с другой стороны он бесконечно продолжается.

Два луча с общим началом образуют угол, а их общее начало становится вершиной. Если рядом несколько углов с одной вершиной, одной буквы может быть недостаточно, поэтому используют три буквы и ставят название вершины между названиями точек на сторонах: ∠AOB. Величина угла определяется раскрытием между его сторонами, а не длиной лучей. Поэтому угол не становится больше, если его стороны просто продлить.

Из нескольких отрезков можно составить ломаную: соседние отрезки соединяются концами. Если последняя точка ломаной совпадает с первой, ломаная замкнута и ограничивает часть плоскости. Такая фигура называется многоугольником; отрезки образуют его стороны, а точки соединения — вершины. Например, три соединённых в замкнутую линию отрезка дают треугольник.

Основные геометрические фигуры

Сначала найди, есть ли у фигуры концы или общее начало, а затем сравни её устройство со вторым столбцом. Столбцы о граничных точках и обозначении помогают проверить, правильно ли ты назвал фигуру и записал её буквами. Помни, что видимый на листе кусок прямой не является её концами.

Разбор задач

Задача 1

Условие: на чертеже отмечены точки A и B. Запиши обозначение прямой, проходящей через них, и отрезка с концами A и B. Нужно различить бесконечную линию и её ограниченную часть. Для прямой достаточно назвать две точки на ней, а у отрезка эти точки обязательно являются концами.

1. Прямая проходит через обе заданные точки, поэтому обозначаем её буквами A и B.
2. Отрезок ограничен точками A и B, значит, его обозначение составляют те же буквы.
3. Проверяем смысл записи: у прямой концов нет, а у отрезка названы оба конца.

Ответ: прямая AB; отрезок AB (или BA).

Задача 2

Условие: точка O лежит на прямой AB. Запиши обозначение двух лучей с началом O, направленных в противоположные стороны. Точка O разделяет прямую на две части, и в каждой части можно выбрать точку, задающую направление луча. В названии луча сначала указывают его начало, поэтому буква O должна стоять первой.

1. Один луч идёт от O в сторону точки A, поэтому его обозначают OA.
2. Второй луч идёт от O в противоположную сторону, к точке B, и обозначается OB.
3. Проверяем, что оба обозначения начинаются с O, а направления противоположны.

Ответ: лучи OA и OB.

Задача 3

Условие: построй угол с вершиной O, сторонами которого являются лучи OA и OB. Обозначь угол и укажи его вершину и стороны. По определению угол должен состоять из двух лучей с общим началом, поэтому сначала важно соединить их именно в точке O. Буквы A и B задают направления сторон, а O указывает их общую вершину.

1. Отметь точку O и проведи из неё два луча: первый через A, второй через B.
2. Убедись, что оба луча начинаются в O; их направления могут быть разными.
3. Запиши угол как ∠AOB: буква O стоит в середине и обозначает вершину.
4. Назови элементы: вершина — O, стороны — лучи OA и OB.

Ответ: угол ∠AOB; вершина O, стороны OA и OB.

Типичные ошибки

Ошибка: считать видимый на странице кусок прямой всей прямой. Так думают, потому что на бумаге линия физически заканчивается у края штриха. Проверь себя: у прямой не должно быть отмеченных концов, и мысленно её можно продолжить в обе стороны. Если названы две конечные точки, скорее всего, речь уже об отрезке.

Ошибка: называть у луча два конца. Обычно луч путают с отрезком, ведь оба изображают линией с точками. Проверь, в каком направлении фигура продолжается: у луча отмечено только начало, а в другую сторону линия не ограничена. Если у неё есть две границы, это отрезок.

Ошибка: путать отрезок и прямую. Их рисунки могут выглядеть почти одинаково, особенно если на прямой не поставлены стрелки. Проверь наличие концов: отрезок имеет два конца, а прямая бесконечно продолжается в обе стороны. Обозначение и условие задачи тоже подсказывают, какую фигуру нужно назвать.

Ошибка: обозначать угол одной буквой, когда у общей вершины несколько углов. Буква вершины тогда не показывает, какие именно две стороны выбраны. Запиши три буквы так, чтобы вершина стояла посередине, например ∠AOB. Для самопроверки проследи, что первая и последняя буквы лежат на сторонах нужного угла.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь находить точки на чертеже и пользоваться буквенными обозначениями. Навык измерять длины отрезков помогает сравнивать расстояния и проверять построения. Если результат измерения не совпадает с видом схемы, доверяй условию задачи и точному измерению, а не впечатлению от рисунка.

Отрезки, лучи и углы нужны при изучении треугольников и других многоугольников: из отрезков складываются стороны, а в вершинах образуются углы. Эти фигуры также помогают строить и читать геометрические чертежи. На них можно точнее описать, какие линии соединяют заданные точки.

Представление о прямой и отрезке пригодится при работе с координатной прямой и задачами на расстояние. Координатная прямая продолжается в обе стороны, а расстояние между двумя точками задаётся длиной ограничивающего их отрезка. Поэтому важно различать бесконечную линию и конкретное расстояние между её точками.

Что запомнить

• Точки обозначают прописными латинскими буквами.
• Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны.
• Отрезок имеет два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла — его вершина.