Текстовые задачи

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными и неизвестными величинами, между которыми установлены связи, и вопросом, требующим ответа. Например, в задаче могут быть указаны количество карандашей и число раздали. Это понятие помогает увидеть в обычном рассказе математическую проблему.

Условие задачи — сведения об известных величинах и отношениях между ними, необходимые для решения. В условии указано, что дано и как одни величины связаны с другими. Умение выделять условие не позволяет потерять важные данные или использовать число случайно.

Вопрос задачи — указание на величину или несколько величин, которые нужно найти. Он определяет, каким должен быть итог решения: количество, расстояние, время, стоимость или другая величина. Ответ должен точно совпадать с вопросом, а не просто содержать последнее найденное число.

Математическая модель задачи — краткая запись ситуации с помощью схемы, таблицы, выражения, уравнения или системы уравнений. Модель убирает лишние слова и оставляет величины с их связями. Благодаря ей условие становится понятным для вычислений или преобразований.

Как это устроено

Сначала из текста выделяют известные величины, неизвестные величины и то, что требуется найти. Для каждой величины полезно назвать её словами и указать единицу измерения. Такой разбор показывает, какие данные относятся друг к другу и достаточно ли их для ответа.

Выбор действия или уравнения зависит от связи между величинами, а не от отдельных слов вроде больше или осталось. Например, при движении навстречу пройденные пути складываются и образуют всё расстояние. Поэтому одинаковое слово в разных задачах может привести к разным действиям, если меняется смысл связи.

Чтобы перевести условие на математический язык, составляют краткую запись, таблицу, схему или выражение. Если неизвестных несколько или задача имеет несколько шагов, неизвестное обозначают буквой и составляют уравнение. Хорошая модель показывает не только числа, но и отношения между ними.

Решение должно быть последовательностью действий или преобразований, каждое из которых связано с условием и вопросом. После каждого шага полезно понимать, какую величину нашли и зачем она нужна дальше. Так можно объяснить ход решения и заметить лишнее или ошибочное действие.

Проверка включает подстановку найденного значения в условие и оценку смысла результата. Нужно убедиться, что совпадают единицы измерения, а число подходит по размеру и знаку. В конце ответ записывают словами, указывая требуемую величину и её единицу измерения.

Этапы решения текстовой задачи

Таблица помогает не пропустить ни один этап и отделить понимание условия от вычислений. Во время решения можно мысленно отвечать на контрольные вопросы справа. Если ответ на такой вопрос отрицательный, вернитесь к соответствующему этапу.

Разбор задач

Задача 1. Уменьшение количества

В коробке было 24 карандаша, 9 карандашей раздали ученикам. Нужно узнать, сколько осталось в коробке. После раздачи количество уменьшилось, значит, из начального числа надо вычесть выданные карандаши.

1. Записываем связь: осталось = было − раздали.
2. Выполняем вычисление: 24 − 9 = 15.
3. Проверяем: 15 меньше 24 на 9, значит, результат согласуется с условием.

Ответ: в коробке осталось 15 карандашей.

Задача 2. Движение навстречу

Расстояние между городами равно 420 км, автомобили одновременно движутся навстречу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. За один час вместе они сокращают расстояние на 60 + 80 = 140 км. Поэтому время встречи можно найти делением всего расстояния на совместную скорость.

1. Обозначим время движения через t часов.
2. Пройденные пути равны 60t и 80t, а вместе они дают 420 км: 60t + 80t = 420.
3. Получаем 140t = 420, откуда t = 3.

Ответ: автомобили встретятся через 3 часа. Проверка: за 3 часа первый проедет 180 км, второй — 240 км, а 180 + 240 = 420 км.

Задача 3. Отношение и изменение

В первом классе учеников в 2 раза больше, чем во втором. После перевода 5 учеников из первого класса и добавления 3 учеников во второй их количества стали равными. Неизвестное удобно связать со вторым классом, потому что число учеников в первом сразу выражается через него.

1. Пусть во втором классе первоначально было x учеников, тогда в первом было 2x.
2. После изменений в первом стало 2x − 5, а во втором x + 3.
3. Составляем уравнение 2x − 5 = x + 3, откуда x = 8.
4. В первом классе было 2 · 8 = 16 учеников.

Ответ: первоначально в первом классе было 16 учеников, а во втором — 8. Проверка: после изменений в обоих классах стало по 11 учеников.

Типичные ошибки

Ученик выполняет действия в порядке появления чисел в тексте, не устанавливая связи между величинами. Так происходит, потому что числа заметить легче, чем понять отношения между ними. Проверьте себя вопросом: что означает каждое действие и отвечает ли оно на часть задачи?

В уравнении перепутаны величины или их единицы измерения, потому что неизвестному не дано понятное обозначение. Например, буквой x называют то время, то расстояние, не меняя смысла записи. Подпишите, что обозначает неизвестное, и проверьте одинаковые ли единицы стоят в каждом равенстве.

Получен математически верный результат, но он не отвечает на вопрос или записан без нужной единицы измерения. Такое случается, если остановиться на промежуточном значении. Снова прочитайте вопрос и сформулируйте ответ словами, добавив единицу.

Проверка не выполняется, поэтому остаются отрицательные, чрезмерно большие или иным образом невозможные значения. Ошибку допускают, когда считают вычисления окончанием решения. Подставьте ответ в условие и оцените его смысл: количество, время и расстояние должны соответствовать ситуации.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны арифметические действия, работа с единицами измерения, составление выражений и решение линейных уравнений. Без этих навыков трудно перевести условие в вычисления. Поэтому полезно отдельно повторять преобразование величин и порядок действий.

Текстовые задачи связаны с таблицами, схемами и диаграммами, а также с отношениями, долями, процентами, скоростью, временем и расстоянием. Эти способы представления помогают увидеть закономерности в условии. Чем лучше прочитана модель, тем надёжнее решение.

Навык построения математической модели пригодится при изучении уравнений, систем уравнений, процентов, вероятности и прикладных задач. В каждой такой теме реальные данные переводят на язык математики. Затем модель решают и сопоставляют результат с исходной ситуацией.

Что запомнить

• Сначала нужно понять условие и вопрос, а затем выбирать способ решения.
• Неизвестную величину удобно обозначать буквой.
• Математическая модель переводит жизненную ситуацию на язык математики.
• Каждое действие или преобразование должно быть связано с условием задачи.
• Решение нужно проверять по условию, единицам измерения и смыслу результата.
• Ответ записывают словами, точно отвечая на вопрос задачи.