"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия помогают находить новые числа и решать задачи: складывать величины, узнавать разницу, объединять равные группы и делить на части. У каждого действия есть свои компоненты, результат и правила вычисления. Сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами, а вычитание и деление связаны с ними как обратные действия. Зная эти свойства и порядок действий, можно вычислять точнее и проверять ответы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором к одному числу прибавляют другое; результат называют суммой, а числа — слагаемыми. Например, в записи 8 + 3 = 11 числа 8 и 3 — слагаемые, 11 — сумма. Такое название помогает различать числа, которые участвуют в действии, и полученный итог.
Вычитание — действие, обратное сложению; результат называют разностью, а уменьшаемое и вычитаемое — компонентами действия. В записи 14 − 6 = 8 число 14 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 8 — разность. Названия показывают, из какого числа убирают другое и что осталось.
Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; результат называют произведением, а числа — множителями. Например, 4 · 3 можно понимать как 3 + 3 + 3 + 3, а результат равен 12. Умножение удобно, когда одно и то же число повторяется несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению; результат называют частным, а делимое и делитель — компонентами действия. В записи 20 : 5 = 4 число 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное. Деление позволяет узнать, на сколько равных частей разделили число или сколько раз одно число содержится в другом; на ноль делить нельзя.
Запись действия показывает, какие числа участвуют в вычислении и какую роль играет каждое из них. Знаки +, −, · и : обозначают сложение, вычитание, умножение и деление, а знак = связывает выражение с его значением. Например, в записи 12 : 3 = 4 видно, что 12 делят на 3 и находят частное 4. Понимание компонентов помогает не путать числа и верно выбирать действие в задаче.
Вычитание проверяют сложением, потому что сложение восстанавливает число, из которого вычитали. Если из 15 вычли 7 и получили 8, то проверка 8 + 7 = 15 подтверждает результат. Аналогично деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают с делимым. Это работает потому, что деление отвечает на вопрос, какой множитель вместе с делителем даст исходное число.
При сложении можно менять слагаемые местами и группировать их по-разному: сумма остаётся той же. Это следует из того, что объединение одних и тех же количеств не зависит от порядка, в котором их считают. Например, в сумме 17 + 23 + 7 удобно сначала сложить 17 и 23, а затем прибавить 7. Умножение обладает такими же переместительным и сочетательным свойствами, поэтому множители можно переставлять и объединять удобными группами.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением: чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. Например, 6 · (10 + 4) = 6 · 10 + 6 · 4. Так можно считать по частям, если отдельные произведения находятся проще. Свойство действует и при вычитании: 6 · (10 − 4) = 6 · 10 − 6 · 4.
В выражении с несколькими действиями порядок вычислений задают правила и скобки. Сначала считают в скобках, потому что они объединяют часть выражения в одно целое. Затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание; действия одинакового уровня выполняют слева направо. Если изменить эту последовательность, можно получить значение, не соответствующее исходному выражению.
| Действие | Компоненты | Результат | Полезное свойство или связь | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | Слагаемые | Сумма | Переместительное и сочетательное свойства | Вычесть из суммы одно слагаемое |
| Вычитание | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Обратное сложению действие | Сложить разность и вычитаемое |
| Умножение | Множители | Произведение | Переместительное, сочетательное и распределительное свойства | Разделить произведение на множитель |
| Деление | Делимое, делитель | Частное | Обратное умножению действие | Умножить частное на делитель |
Сначала найдите в таблице названия компонентов и результата нужного действия. Затем используйте свойство или обратное действие, чтобы упростить вычисление либо проверить ответ. Проверка должна восстановить исходное число.
Задача: вычислите 347 + 258 и проверьте результат обратным действием. Здесь нужно найти сумму двух чисел, а затем убедиться, что вычитание одного слагаемого возвращает другое. Такая проверка позволяет обнаружить ошибку в вычислении или переносе разрядов. Решим сложение по разрядам.
Ответ: 605.
Задача: вычислите 36 · 25 + 36 · 75, выбрав удобный способ. В обоих произведениях есть общий множитель 36, а множители 25 и 75 удобно сложить. По распределительному свойству можно сначала объединить эти множители, а затем выполнить одно умножение. Так вычислений будет меньше, чем при нахождении двух отдельных произведений.
Ответ: 3600.
Задача: вычислите 480 : (18 − 6) + 7 · 9 − 15. Здесь есть скобки, деление, умножение, сложение и вычитание, поэтому важно не начинать с первого действия слева. Скобки определяют, какое значение нужно найти прежде всего, а деление и умножение выполняются раньше сложения и вычитания. После этого оставшиеся действия выполняются слева направо.
Ответ: 88.
Ошибка: менять местами уменьшаемое и вычитаемое, считая вычитание переместительным. Так делают, потому что путают его со сложением, где слагаемые действительно можно переставлять. Но 12 − 5 = 7, а 5 − 12 не равно 7. Проверьте ответ сложением: разность плюс вычитаемое должна дать уменьшаемое.
Ошибка: считать деление переместительным или менять местами делимое и делитель. Эту ошибку допускают, перенося на деление правило для умножения. Например, 18 : 3 = 6, но 3 : 18 не равно 6. Чтобы проверить себя, умножьте найденное частное на делитель: должно получиться делимое.
Ошибка: при умножении суммы на число умножить только одно слагаемое. Скобки могут отвлекать, и кажется, что множитель относится лишь к ближайшему числу. На самом деле множитель нужно применить к каждому слагаемому: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Проверить равенство можно, отдельно вычислив левую и правую части.
Ошибка: выполнять сложение раньше умножения или игнорировать скобки. Часто так происходит, когда вычисления делают просто слева направо, не учитывая правила порядка действий. В выражении 2 + 3 · 4 сначала нужно умножить, а скобки всегда требуют сначала вычислить заключённую в них часть. Записывайте промежуточные результаты и сверяйте порядок: скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
Для вычислений нужны знания о натуральных числах, их разрядном составе и таблице умножения: они помогают складывать, умножать и делить без ошибок. Арифметические действия встречаются при нахождении значения числовых выражений и формул, а также при решении текстовых задач. Свойства действий позволяют упрощать вычисления и преобразовывать выражения. Эти умения пригодятся при изучении дробей и отрицательных чисел, где знакомые действия получают новые правила применения.
Чем сумма отличается от слагаемых?
Слагаемые — это числа, которые складывают, а сумма — результат сложения. Например, в записи 4 + 6 = 10 числа 4 и 6 — слагаемые, а 10 — сумма.
Почему вычитание нельзя выполнять в любом порядке?
При вычитании числа играют разные роли: из уменьшаемого вычитают вычитаемое. Если поменять их местами, обычно получится другое число: 9 − 5 = 4, а 5 − 9 не равно 4.
Как проверить результат деления?
Нужно частное умножить на делитель: если получено делимое, деление выполнено верно. Например, 24 : 6 = 4 проверяется равенством 4 · 6 = 24.
Можно ли делить на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое.
Как определить порядок действий в выражении со скобками?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют по порядку слева направо.
Арифметические действия
