Величины

Определения и обозначения

Однородные величины — величины одного вида, которые можно сравнивать между собой, например две длины. Слова «одного вида» означают, что величины описывают одно и то же свойство. Так можно сопоставить длины двух отрезков или массы двух предметов. Это понятие помогает понять, какие величины допустимо сравнивать и складывать.

Единица измерения — величина того же вида, выбранная за единицу сравнения. Например, длину можно измерять в сантиметрах или метрах, а массу — в граммах или килограммах. Выбор единицы влияет на числовой результат: маленькая единица чаще помещается в величине, чем большая. Сама длина при этом не меняется.

Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. Если отрезок имеет длину 4 см, его числовое значение при измерении в сантиметрах равно 4. При измерении в миллиметрах числовое значение будет другим, потому что миллиметр меньше сантиметра. Это число всегда связано с выбранной единицей.

Измерение величины — сравнение её с выбранной единицей и запись результата числом вместе с названием или обозначением единицы. Например, запись 4 см сообщает и числовое значение, и единицу длины. Именно вместе они дают полный результат измерения. Без обозначения единицы нельзя понять, что именно и в чём измерили.

Как это устроено

Напрямую сравнивать можно однородные величины, потому что они отвечают на один и тот же вопрос: какая длина больше или какая масса тяжелее. Для сравнения длины и массы такого общего свойства нет. Например, выражения «3 метра больше 2 килограммов» не имеют смысла: метр и килограмм измеряют разные вещи. Одинаковые числовые значения не делают разные виды величин сравнимыми.

Чтобы выразить величину числом, сначала выбирают единицу того же вида, а затем определяют, сколько раз она укладывается в измеряемой величине. Это похоже на измерение отрезка линейкой: деления линейки задают единицу, а их количество показывает длину. Если единица не относится к тому же виду, сравнение не даст числового результата. Поэтому длину измеряют единицами длины, а время — единицами времени.

Одна и та же величина может иметь разные числовые значения, если её выражают в разных единицах. Например, 2 м — это 200 см: метр в сто раз длиннее сантиметра, поэтому для той же длины требуется в сто раз больше сантиметров. Изменилось не расстояние, а способ его выражения. При переходе к более крупной единице числовое значение обычно уменьшается, а к более мелкой — увеличивается.

В записи результата измерения важны и число, и единица, потому что они сообщают разные части информации. Число показывает, сколько единиц содержится в величине, а обозначение указывает, что именно считали. Запись «12» может означать 12 см, 12 кг или 12 минут, поэтому без единицы она неполна. Полная запись, например 12 см, однозначно сообщает измеренную длину.

Складывать и вычитать можно однородные величины: например, длину одного отрезка и длину другого. Если единицы различаются, сначала удобнее выразить обе величины в одинаковых единицах, иначе легко ошибиться в вычислении. Так, 2 м и 30 см можно представить как 200 см и 30 см, а затем сложить. Результат также записывают с единицей этой величины.

Примеры величин и единиц их измерения

Сначала определите, к какому виду относится величина, и только потом выбирайте подходящую единицу. В таблице приведены распространённые единицы, но в конкретной задаче единица зависит от размера измеряемого предмета или промежутка. Например, длину карандаша удобно записывать в сантиметрах, а расстояние между городами — в километрах.

Разбор задач

Сравните отрезки длиной 4 см и 35 мм.

Сантиметры и миллиметры измеряют длину, поэтому эти величины однородны. Но сравнивать числа 4 и 35 напрямую нельзя: они относятся к разным единицам. Переведём одну длину в единицу другой, используя соотношение 1 см = 10 мм.

1. Выберем миллиметры, потому что одна из длин уже дана в миллиметрах.
2. Переведём 4 см в миллиметры: 4 · 10 = 40 мм.
3. Сравним полученные числа: 40 мм > 35 мм, значит, длина 4 см больше.

Ответ: 4 см > 35 мм.

Выразите 2 м 35 см в сантиметрах, а затем в метрах.

Величина дана составной записью: в ней есть метры и сантиметры. Чтобы выразить её в сантиметрах, переведём метры в более мелкую единицу и прибавим оставшиеся сантиметры. Для обратного перевода удобно отделить целые метры от оставшейся части.

1. Знаем, что 1 м = 100 см, поэтому 2 м = 200 см.
2. Сложим части: 200 см + 35 см = 235 см.
3. Поскольку 100 см составляют 1 м, 235 см = 2 м 35 см = 2,35 м.

Ответ: 235 см; 2,35 м.

Для прямоугольной площадки указаны длина 3 м 40 см и ширина 250 см. Найдите её периметр в метрах и сантиметрах.

Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон, то есть удвоенная сумма длины и ширины. Прежде чем складывать, приведём стороны к одной единице. Выберем сантиметры: так ширина уже записана, а длину можно перевести по соотношению 1 м = 100 см.

1. Длину выразим в сантиметрах: 3 м 40 см = 300 см + 40 см = 340 см.
2. Вычислим периметр: 2 · (340 см + 250 см) = 2 · 590 см = 1180 см.
3. Переведём результат в метры: 1180 см = 11 м 80 см, то есть 11,8 м.

Ответ: 11 м 80 см, или 11,8 м.

Типичные ошибки

Сравнивают или складывают неоднородные величины. Например, число метров не складывают с числом килограммов: это разные виды величин, а одинаковые числа не меняют их смысл. Ошибка возникает, когда обращают внимание только на числа и забывают про единицы. Перед вычислением проверьте, что обе величины описывают одно свойство.

Записывают только числовое значение. Запись «7» не показывает, получены ли сантиметры, минуты или килограммы. Так происходит, если единицу считают несущественной частью ответа. Проверьте результат: по записи должно быть понятно, что измеряли и в каких единицах.

При переводе в более мелкую единицу уменьшают число. Это неверно, потому что мелких единиц в той же величине помещается больше: например, 1 м = 100 см. Путаница возникает, когда запоминают действие, но не соотносят его с размером единицы. Проверка проста: результат в сантиметрах для той же длины должен быть больше, чем в метрах.

Складывают числа, записанные в разных единицах, без перевода. Например, нельзя получить правильную сумму, просто сложив 2 и 30 в записи 2 м + 30 см. Ошибку допускают, потому что пропускают шаг приведения единиц к общим. Перед сложением перепишите обе величины в метрах или сантиметрах и проверьте, что единицы совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с величинами нужны натуральные и дробные числа, а также умение выполнять с ними действия. Эти знания пригодятся при изучении единиц длины, массы, времени, площади и объёма и при решении практических и геометрических задач. В дальнейшем измерение помогает понимать формулы, связывающие разные величины: в них числа и единицы должны соответствовать смыслу задачи. Поэтому полезно с самого начала внимательно записывать единицы и переводить их согласованно.

Что запомнить

• Однородные величины относятся к одному виду.
• Измерить величину — значит сравнить её с выбранной единицей.
• Результат измерения записывают числом и единицей.
• При смене единицы числовое значение той же величины меняется.
• Сравнивать и складывать можно однородные величины.
• Перед вычислениями величины с разными единицами приводят к общей единице.