§ 4.4. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световой волной препятствий и проникновение в область геометрической тени. В геометрической оптике лучи считают прямыми, поэтому за препятствием ожидают резкую границу света и тени. Дифракция показывает, что такое описание является приближением: волна может отклоняться от прямолинейного пути.

Принцип Гюйгенса—Френеля утверждает, что каждая точка волнового фронта служит источником вторичных волн, а их наложение определяет результирующее поле. Волновой фронт — поверхность, на которой колебания происходят в одинаковой фазе. Принцип нужен, чтобы проследить, как свет распространяется после прохождения отверстия или встречи с препятствием.

Дифракционная картина — распределение максимумов и минимумов интенсивности, возникающее при интерференции вторичных волн. Интенсивность показывает, насколько ярко свет в данной точке. Картина возникает потому, что волны в одних направлениях складываются с усилением, а в других ослабляют друг друга.

Дифракционная решётка — система большого числа параллельных равноотстоящих щелей. Расстояние между соответствующими точками соседних щелей называется периодом решётки и обозначается d. Период нужен для расчёта направлений, в которых волны от щелей усиливаются и образуют главные максимумы.

Как это устроено

Выраженность дифракции определяется отношением размера отверстия или препятствия к длине волны λ. Если размер сравним с λ, края отверстия заметно меняют распространение волны, и свет попадает туда, куда лучевая модель его не направляет. При размерах, намного превышающих длину волны, отклонённая часть волны мала по сравнению с основным пучком, поэтому геометрическая оптика работает хорошо.

По принципу Гюйгенса—Френеля участки волнового фронта испускают вторичные волны. На экране они встречаются, и результат зависит от разности пройденных ими расстояний: при совпадении фаз волны усиливают друг друга, а при противоположных фазах ослабляют. Поэтому свет распределяется не равномерно, а чередуется по интенсивности; такое сложение волн называется интерференцией.

У одной щели шириной a волны от её разных частей интерферируют. В центре экрана разность хода мала, поэтому получается широкий яркий максимум; по сторонам расположены более слабые боковые максимумы. Направления минимумов задаются условием a sin θ = mλ, где θ — угол от центрального направления, а m — ненулевое целое число: в этих направлениях вклады частей щели взаимно компенсируются.

В решётке вторичные волны приходят не только от разных участков щели, но и от множества щелей. Если разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн, они приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Поэтому направления главных максимумов удовлетворяют условию d sin θ = kλ, где k — целое число, задающее порядок; между главными максимумами интенсивность обычно значительно меньше.

При неизменном размере щели уменьшение a увеличивает углы первых минимумов, поскольку sin θ = λ/a для m = 1. В решётке угол максимума возрастает с длиной волны λ и порядком k, но уменьшается при увеличении периода d, если остальные величины постоянны. В обоих случаях более длинная волна отклоняется на больший угол. Решётка может дать максимум только тогда, когда требуемое значение kλ/d не превышает единицу.

Дифракция на щели и на дифракционной решётке

Сначала определите, рассматривается одна щель или решётка: от этого зависит и используемый параметр, и формула. Для щели ищут направления минимумов, а для решётки — направления главных максимумов. При расчёте проверьте, что sin θ не превышает единицу.

Разбор задач

Задача 1. Свет с длиной волны 600 нм проходит через щель шириной 0,30 мм. Нужно оценить, будет ли заметна дифракция. Сравним характерные размеры: при близких величинах эффект выражен, а при большой разнице лучевое приближение обычно достаточно.

1. Переведём ширину щели в нанометры: 0,30 мм = 300 000 нм.
2. Сопоставим величины: ширина щели больше длины волны в 300 000 / 600 = 500 раз.
3. Такое отверстие намного шире длины волны, поэтому угловое расширение картины мало. В обычных условиях дифракция будет практически незаметна.

Ответ: дифракция выражена слабо; можно пользоваться приближением геометрической оптики.

Задача 2. На щель шириной 0,20 мм падает свет с длиной волны 500 нм. Найдём угол первого минимума. Для щели применяем условие a sin θ = mλ, а первый минимум соответствует m = 1.

1. Переведём величины в метры: a = 0,20 мм = 2,0 × 10⁻⁴ м, λ = 500 нм = 5,0 × 10⁻⁷ м.
2. Подставим значения: sin θ = mλ/a = 5,0 × 10⁻⁷ / 2,0 × 10⁻⁴ = 0,0025.
3. Угол мал, поэтому θ ≈ sin θ в радианах. Получаем θ ≈ 0,0025 рад, или примерно 0,14°.

Ответ: угол первого минимума составляет около 0,14°.

Задача 3. Период решётки равен 2,0 мкм, длина волны — 500 нм. Найдём угол максимума второго порядка и проверим, существует ли максимум третьего порядка. Для главных максимумов используем d sin θ = kλ.

1. Запишем период и длину волны в одинаковых единицах: d = 2000 нм, λ = 500 нм.
2. Для k = 2 получаем sin θ = kλ/d = 2 × 500 / 2000 = 0,5. Следовательно, θ = 30°.
3. Для третьего порядка sin θ = 3 × 500 / 2000 = 0,75. Это значение меньше единицы, поэтому максимум возможен; его угол примерно 48,6°.

Ответ: максимум второго порядка находится под углом 30°; максимум третьего порядка возможен.

Типичные ошибки

Считать, что дифракция бывает только у щели, — ошибка: её вызывают и отверстия, и препятствия подходящего размера. Обычно внимание сосредоточивают на щели, потому что её геометрия позволяет удобно рассчитывать картину. Проверяйте, есть ли у волны край, граница или отверстие, сопоставимое по размеру с длиной волны.

Не учитывая соотношение размеров и длины волны, можно ошибочно ожидать одинаково заметную дифракцию в любых условиях. Эффект часто обсуждают качественно, без оценки масштаба. Перед выводом сравните величины: если размер намного больше λ, дифракция мала; если сравним с λ, она заметнее.

Подстановка ширины щели a вместо периода решётки d (или наоборот) приводит к неверному углу. Ошибка возникает потому, что обе величины имеют размер длины, но относятся к разным объектам и разным условиям. Сначала определите вид установки: для минимумов одной щели нужно a sin θ = mλ, для главных максимумов решётки — d sin θ = kλ.

Порядок максимума решётки нельзя выбирать произвольно: должно выполняться kλ/d ≤ 1, иначе синус угла оказался бы больше единицы. Иногда проверку пропускают, сразу вычисляя угол по формуле. Сначала найдите kλ/d и сравните с единицей, а уже затем определяйте θ.

Связь с другими темами

Для понимания дифракции нужны понятия длины волны, частоты и скорости распространения света. Также пригодится сложение волн и интерференция: именно интерференция вторичных волн формирует чередование максимумов и минимумов. Эти идеи объединяет волновая оптика.

Дифракционная решётка помогает определять длину волны по измеренному углу максимума и известному периоду. Кроме того, дифракция ограничивает разрешающую способность оптических приборов: изображение двух близких объектов может сливаться из-за волнового характера света. Поэтому улучшить изображение нельзя бесконечно простым увеличением.

Геометрическая оптика описывает свет с помощью лучей и удобна, когда размеры деталей намного больше длины волны. Дифракция уточняет границы такого описания, показывая, что происходит у малых отверстий и краёв. Вместе эти подходы дают более полную картину распространения света.

Что запомнить

• Дифракция — волновое явление, особенно заметное при размерах препятствий порядка длины волны.
• Дифракционную картину объясняют интерференцией вторичных волн.
• Для минимумов при дифракции на щели: a sin θ = mλ, где m — ненулевое целое число.
• Для главных максимумов решётки: d sin θ = kλ.
• Увеличение длины волны при неизменной геометрии увеличивает углы дифракционных максимумов.
• Для существования максимума решётки необходимо kλ ≤ d.