§ 4.5. Дифракционная решетка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — оптический прибор с большим числом одинаковых, равноотстоящих щелей или штрихов. Когда свет проходит через такие элементы, он направляется в определённые стороны, а лучи разных цветов могут расходиться под разными углами. Поэтому решётка помогает разделить свет на составляющие и исследовать его спектр.

Период дифракционной решётки d — расстояние между серединами соседних щелей или соседних штрихов. Если ширина прозрачного промежутка равна a, а ширина непрозрачного — b, то d = a + b. Период нужен для расчёта углов, под которыми видны максимумы: именно расстояние между соседними щелями задаёт разность хода волн.

Главный максимум — направление, в котором волны от всех щелей приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга. В этой области свет наиболее яркий, поэтому по положению максимума можно установить направление, связанное с определённой длиной волны. Максимумы наблюдают на экране или регистрируют с помощью оптического прибора.

Порядок максимума k — целое число, показывающее, сколько длин волн укладывается в разность хода волн от соседних щелей. Центральному максимуму соответствует k = 0, а боковым — положительные и отрицательные значения. Порядок помогает различать максимумы и находить их угловое положение.

Как это устроено

Когда свет проходит через множество щелей, каждая щель становится источником волны с той же частотой, что и падающий свет. Такие волны когерентны: разность фаз между ними остаётся постоянной, поэтому в одних направлениях они усиливаются, а в других ослабляются. На экране складываются вклады от всех щелей, и возникает дифракционная картина с яркими максимумами.

Положение главного максимума определяется тем, с какой разностью хода волны от соседних щелей приходят к выбранной точке. Если разность хода равна целому числу длин волн, волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга: d sin φ = kλ. Здесь φ — угол между первоначальным направлением распространения света и направлением на максимум, а k — целое число. При нормальном падении свет идёт перпендикулярно плоскости решётки, поэтому первоначальное направление совпадает с нормалью к ней.

У решётки с большим числом щелей главные максимумы становятся ярче и уже. Причина в том, что волны от многих щелей складываются согласованно лишь при очень точном выполнении условия максимума. В соседних направлениях фазы постепенно различаются, и вклады разных щелей в значительной степени взаимно ослабляются.

Для одного и того же порядка положение максимума зависит от длины волны: из условия следует sin φ = kλ/d. При неизменном d и k увеличение λ приводит к увеличению угла φ, пока максимум существует. Поэтому составляющие белого света расходятся: красный свет с более длинной волной отклоняется сильнее фиолетового. Так решётка разлагает белый свет в спектр, кроме центрального максимума, где k = 0 и цвета совпадают.

Появиться могут не все порядки: синус угла не может быть больше единицы по модулю. Из d sin φ = kλ следует ограничение |k|λ ≤ d, или |k| ≤ d/λ. Даже если отношение d/λ не является целым числом, порядок k должен оставаться целым, поэтому выбирают наибольшее целое, которое не превышает это отношение.

Главные максимумы дифракционной решётки

Чтобы найти угол, выберите строку с условием главного максимума и подставьте известные d, λ и k. Перед расчётом переведите величины в одинаковые единицы. Если требуется выяснить, существует ли максимум данного порядка, проверьте ограничение на k.

Разбор задач

Задача 1. На решётку с периодом 0,01 мм нормально падает монохроматический свет с длиной волны 500 нм. Найдите синус угла первого главного максимума.

1. Запишем условие максимума d sin φ = kλ. Для первого максимума k = 1, поэтому sin φ = λ/d.
2. Переведём период в нанометры: 0,01 мм = 10⁻⁵ м = 10 000 нм. Тогда sin φ = 500/10 000 = 0,05.

Ответ: sin φ = 0,05. По условию нормального падения угол отсчитывается от направления, в котором свет распространялся до решётки.

Задача 2. Для решётки с периодом 2,0 мкм определите максимальный порядок спектра при длине волны 500 нм.

1. Максимальный порядок ограничен условием |k| ≤ d/λ, потому что |sin φ| не может превышать единицу.
2. Переведём период в нанометры: 2,0 мкм = 2000 нм. Получим d/λ = 2000/500 = 4.
3. Порядок должен быть целым; наибольшее допустимое значение равно 4. Для него sin φ = 1, то есть максимум соответствует предельному направлению.

Ответ: максимальный порядок равен 4.

Задача 3. При освещении решётки светом известной длины волны измерен угол максимума второго порядка. Определите период решётки и объясните, как изменится угол максимума первого порядка при переходе к свету большей длины волны.

1. Для второго порядка k = 2. Из уравнения d sin φ = kλ выразим период: d = 2λ/sin φ, где φ — измеренный угол максимума.
2. Чтобы получить численное значение периода, подставьте известную длину волны и измеренный угол, предварительно приведя λ к выбранным единицам. Без конкретных значений λ и φ ответ остаётся формулой.
3. Для первого порядка при неизменном периоде sin φ₁ = λ/d. Большая длина волны увеличивает sin φ₁, а значит, и угол φ₁ в диапазоне от 0° до 90°.

Ответ: d = 2λ/sin φ; при увеличении длины волны угол максимума первого порядка увеличивается.

Типичные ошибки

В условие максимума иногда подставляют число щелей вместо периода решётки. Число щелей влияет на яркость и ширину максимумов, а формула d sin φ = kλ связывает угол с расстоянием между соседними щелями. Проверьте себя: у d должны быть единицы длины, а не безразмерное число щелей.

Найденное по формуле d/λ значение максимального порядка могут оставить нецелым или округлить вверх. Но k — целое число, поскольку разность хода должна содержать целое число длин волн. После деления возьмите наибольшее целое значение, не превышающее результат, и проверьте условие |k|λ ≤ d.

Угол φ порой принимают за угол между падающим и прошедшим лучами. При нормальном падении его отсчитывают от первоначального направления распространения света, совпадающего с нормалью к решётке. Для самопроверки изобразите нормаль и отметьте угол именно между ней и направлением на максимум.

Можно ошибочно считать, что максимумы всех цветов белого света находятся под одним углом. Это верно только для центрального максимума, где k = 0; для остальных угол зависит от λ. Сверьте ожидание с формулой sin φ = kλ/d: при том же порядке красный свет должен отклоняться сильнее фиолетового.

Связь с другими темами

Для понимания работы решётки нужны представления о дифракции и интерференции света. Дифракция объясняет, почему волны распространяются за краями щелей, а интерференция — почему при сложении возникают усиление и ослабление. Также важно знать, что такое длина волны и разность хода: именно разность хода определяет, совпадут ли фазы волн от соседних щелей.

Дифракционные решётки применяют в спектральных приборах. По углам максимумов можно определить длины волн излучения, а по набору этих длин волн — исследовать состав света. Поэтому решётка связывает волновые свойства света с практическим анализом источников излучения.

Что запомнить

• Решётка состоит из большого числа одинаковых равноотстоящих щелей или штрихов.
• Период решётки d — расстояние между соседними щелями или штрихами.
• Главные максимумы удовлетворяют условию d sin φ = kλ.
• Порядок максимума k принимает целые значения; k = 0 соответствует центральному максимуму.
• Максимально возможный порядок ограничен условием |k|λ ≤ d.
• При большей длине волны максимум того же порядка наблюдается под большим углом.