§ 56. Теория фотоэффекта

Определения и обозначения

Фотоэффект — испускание электронов веществом под действием света; внешний фотоэффект означает, что электроны покидают вещество. Освобождённые частицы называют фотоэлектронами. Это понятие нужно, чтобы отличать вылет электронов из вещества от других проявлений действия света.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для выхода электрона из вещества; её обозначают Aвых. Значение зависит от материала и поверхности. Эта величина показывает, какую часть энергии фотона нужно затратить прежде, чем электрон сможет покинуть вещество.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта записывается так: hν = Aвых + Eк,max. Здесь hν — энергия фотона, Aвых — работа выхода, а Eк,max — максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона. Уравнение позволяет распределить энергию фотона между освобождением электрона и его дальнейшим движением.

Красная граница фотоэффекта — наибольшая длина волны или наименьшая частота света, при которой фотоэффект ещё возможен. На пороге энергия фотона точно равна работе выхода, поэтому Eк,max = 0. Эта граница определяет, какой свет способен вызвать вылет электронов из данного вещества.

Как это устроено

В классическом волновом представлении энергия света распределена непрерывно по волне, и электрон должен был бы получать её постепенно. Тогда при достаточно большой интенсивности вылет электронов был бы возможен при любой частоте, пусть даже после некоторой задержки. Наблюдения показывают, что существует пороговая частота, а энергия фотоэлектронов растёт с частотой света. Чтобы объяснить эти закономерности, Эйнштейн применил квантовую теорию: свет передаёт энергию порциями — фотонами.

Энергия одного фотона равна hν, и при поглощении он передаёт её одному электрону. Часть энергии требуется, чтобы преодолеть притяжение со стороны вещества и выйти наружу; этот минимальный расход и есть работа выхода. Оставшаяся энергия переходит в кинетическую энергию электрона. Поэтому фотон с энергией меньше Aвых не может освободить электрон, даже если таких фотонов очень много.

Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия поглощённого фотона равнялась сумме энергии, затраченной на освобождение электрона, и его кинетической энергии. Так получается уравнение Эйнштейна: hν = Aвых + Eк,max. В веществе электроны могут находиться в разных условиях и терять часть энергии при движении к поверхности. Поэтому в уравнении рассматривают наибольшую кинетическую энергию: её получают электроны, которым для выхода потребовалось минимально возможное количество энергии.

Для появления фотоэффекта энергии фотона должно хватать хотя бы на работу выхода: hν ≥ Aвых. При равенстве электрон выходит с нулевой кинетической энергией, а частота достигает порогового значения ν₀ = Aвых/h. Поскольку c = λν, соответствующая предельная длина волны равна λ₀ = c/ν₀ = hc/Aвых. Следовательно, фотоэффект возможен при ν ≥ ν₀ или, что равносильно, при λ ≤ λ₀.

При увеличении частоты растёт энергия каждого фотона, поэтому после вычета неизменной для данного вещества работы выхода увеличивается и максимальная кинетическая энергия электронов. Интенсивность при той же частоте меняет не энергию отдельного фотона, а число фотонов, попадающих на поверхность за единицу времени. Если частота выше порога, большее число фотонов обычно означает больше вылетевших электронов. Интенсивность сама по себе не позволяет преодолеть порог, если энергия одного фотона меньше работы выхода.

Величины и закономерности фотоэффекта

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти, затем выберите соответствующую строку. Для проверки возможности фотоэффекта сравните hν с Aвых, а для энергии электронов используйте уравнение Эйнштейна. Не смешивайте интенсивность света с энергией отдельного фотона: их определяют разные характеристики.

Разбор задач

Задача 1. Работа выхода вещества равна 3,0 эВ, частота света — 8,0 × 10¹⁴ Гц. Возможен ли фотоэффект? Сравним энергию фотона с работой выхода; постоянная Планка в этих единицах h ≈ 4,14 × 10⁻¹⁵ эВ·с.

1. Находим энергию фотона: Eф = hν ≈ 4,14 × 10⁻¹⁵ × 8,0 × 10¹⁴ = 3,31 эВ.
2. Сравниваем результат с работой выхода: 3,31 эВ больше 3,0 эВ.
3. Значит, энергии фотона хватает на освобождение электрона; остаток может перейти в его кинетическую энергию.

Ответ: фотоэффект возможен. Максимальная кинетическая энергия в данном случае равна примерно 0,31 эВ.

Задача 2. На вещество с работой выхода 2,2 эВ падает свет частотой 1,0 × 10¹⁵ Гц. Найдём максимальную кинетическую энергию электронов. Здесь удобно вычислить энергию фотона в электрон-вольтах и вычесть работу выхода.

1. Энергия фотона: Eф = hν ≈ 4,14 × 10⁻¹⁵ × 1,0 × 10¹⁵ = 4,14 эВ.
2. Применяем уравнение Эйнштейна: Eк,max = hν − Aвых.
3. Подставляем значения: Eк,max = 4,14 − 2,2 = 1,94 эВ.

Ответ: максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 1,94 эВ. Вычитание работы выхода показывает, что на движение электрона идёт лишь остаток энергии фотона.

Задача 3. При частоте света 1,0 × 10¹⁵ Гц задерживающее напряжение равно 2,0 В. Найдём работу выхода и красную границу вещества. Электрон-вольт равен энергии, которую получает электрон при прохождении разности потенциалов 1 В, поэтому Eк,max = 2,0 эВ.

1. По задерживающему напряжению определяем максимальную кинетическую энергию: Eк,max = eUз = 2,0 эВ.
2. Из уравнения Эйнштейна находим работу выхода: Aвых = hν − Eк,max ≈ 4,14 − 2,0 = 2,14 эВ.
3. Пороговая частота равна ν₀ = Aвых/h ≈ 2,14/(4,14 × 10⁻¹⁵) = 5,2 × 10¹⁴ Гц.
4. Предельная длина волны: λ₀ = c/ν₀ ≈ 3,0 × 10⁸/(5,2 × 10¹⁴) ≈ 5,8 × 10⁻⁷ м.

Ответ: Aвых ≈ 2,14 эВ, ν₀ ≈ 5,2 × 10¹⁴ Гц, λ₀ ≈ 5,8 × 10⁻⁷ м. Для фотоэффекта свет должен иметь частоту не ниже найденной или длину волны не больше предельной.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что увеличение интенсивности при неизменной частоте увеличивает максимальную кинетическую энергию электронов. Так думают, потому что более яркий свет воспринимается как более энергичный, но энергия отдельного фотона задаётся частотой. Проверьте себя по формуле Eф = hν: если ν не меняется, энергия фотона та же; интенсивность увеличивает число фотонов и обычно число электронов.

Ошибка: путать работу выхода с кинетической энергией электрона. Работа выхода — расход энергии на освобождение, а не энергия движения после вылета; смешение возникает из-за того, что обе величины входят в одно уравнение. Проверьте запись баланса: hν = Aвых + Eк,max, поэтому кинетическая энергия — остаток после вычитания работы выхода.

Ошибка: считать, что при любой частоте поможет достаточно интенсивный свет. Такое предположение переносит на фотоэффект классическую идею накопления энергии волны, но отдельный фотон ниже порога не способен освободить электрон. Для проверки сравните hν с Aвых: если первое меньше, увеличение числа фотонов не изменит этот результат.

Ошибка: перепутать пороговые значения частоты и длины волны. При более короткой волне частота выше, поскольку c = λν, и наоборот; это часто забывают при формулировке условия. Проверьте направление неравенств: фотоэффект возможен при ν ≥ ν₀ и λ ≤ λ₀.

Связь с другими темами

Для понимания фотоэффекта нужны понятия фотона и квантования энергии: энергия света передаётся порциями по формуле E = hν. Закон сохранения энергии помогает получить уравнение Эйнштейна и проследить, куда расходуется энергия фотона. Связь c = λν позволяет переходить от пороговой частоты к красной границе по длине волны.

Тема показывает квантовые свойства света и помогает понять принцип работы приборов, реагирующих на освещение. Фотоэффект используется в фотонных устройствах и технических системах, где свет преобразуется в электрический сигнал или влияет на движение электронов. Эти применения основаны на связи характеристик света с числом и энергией фотоэлектронов.

Что запомнить

• Энергия фотона равна hν.
• Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: hν = Aвых + Eк,max.
• Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода.
• Красная граница определяется свойствами вещества и не зависит от интенсивности света.
• Частота света определяет максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов.
• Интенсивность света при частоте выше пороговой влияет на число выбиваемых электронов.