§ 62. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — система большого числа параллельных прозрачных щелей или отражающих полос, разделённых непрозрачными промежутками. Свет проходит через щели или отражается от полос и образует общую картину на экране. Решётка нужна, чтобы разделять свет на направления, соответствующие разным длинам волн.

Период дифракционной решётки — расстояние между серединами соседних щелей; его обозначают d. Он равен сумме ширины щели и ширины непрозрачного промежутка. Период определяет, насколько сильно разойдутся лучи разных порядков, поэтому его важно отличать от ширины отдельной щели.

Главный максимум — направление, в котором волны от всех щелей усиливают друг друга и возникает наиболее яркая полоса. Такие направления можно предсказать по условию решётки и использовать для измерений. Между главными максимумами интенсивность обычно значительно меньше.

Порядок максимума — целое число m, определяющее положение главного максимума. Центральный максимум соответствует m = 0, а максимумы по обе стороны от него имеют положительные и отрицательные значения m. Порядок помогает обозначить, какой именно яркой полосе соответствует измеренный угол.

Как это устроено

Когда свет попадает на узкую щель, он не продолжает движение только по прямой: за щелью волна распространяется в разных направлениях. Это и есть дифракция, заметная, когда размеры отверстия сопоставимы с длиной волны. В решётке каждая щель становится источником расходящихся волн, поэтому за ней возникают перекрывающиеся волновые фронты.

Волны от разных щелей интерферируют: их колебания складываются, усиливая или ослабляя друг друга. Чтобы найти направления усиления, сравнивают пути волн от двух соседних щелей. Если лучи идут под углом φ к нормали, дополнительный путь одной волны равен проекции расстояния d на направление распространения, то есть d·sin(φ).

Главный максимум появляется, если разность хода соседних волн равна целому числу длин волн: d·sin(φ) = m·λ. Тогда волны от соседних щелей приходят согласованно, и от каждой следующей щели добавляется усиление. Число m — целое: ноль даёт центральный максимум, а ненулевые целые значения задают максимумы по обе стороны. Отрицательный порядок соответствует противоположному направлению; при этом возможны только те порядки, для которых |m·λ/d| ≤ 1.

У одной щели дифракционная картина сравнительно широкая, а большое число щелей делает пики решётки узкими. Причина в том, что вне точного направления усиления волны от множества щелей быстро взаимно компенсируются. В самих главных максимумах они складываются согласованно и дают высокую яркость, поэтому между пиками остаются почти тёмные области. Чем больше работающих щелей, тем чётче можно различать близкие направления и длины волн.

Формулу решётки можно использовать в разных направлениях. Если известны d, m и λ, находят угол: φ = arcsin(m·λ/d); если известны угол и порядок, длина волны равна λ = d·sin(φ)/m. Период находят как d = m·λ/sin(φ), если известны длина волны и угол. Перед расчётом длины нужно выразить в одинаковых единицах, а найденный синус проверить: его модуль не может превышать единицу.

Основные величины и условия для дифракционной решётки

Таблица помогает выбрать формулу по тому, какие величины известны и какую нужно найти. В условие максимума подставляют согласованные единицы длины, а угол берут относительно нормали к решётке. Если вычисленный синус больше единицы по модулю, выбранный порядок невозможен.

Разбор задач

Задача 1. Для решётки с периодом 2 мкм нужно найти угол максимума первого порядка для света с длиной волны 600 нм. Искомый угол связан с периодом и длиной волны условием d·sin(φ) = m·λ. Сначала приведём величины к одним единицам, чтобы сравнение было корректным.

1. Записываем данные: d = 2 мкм = 2000 нм, λ = 600 нм, m = 1. Переходим от формулы решётки к синусу угла: sin(φ) = m·λ/d.
2. Подставляем числа: sin(φ) = 1·600/2000 = 0,3. Значение допустимо, потому что оно не превышает единицу.
3. Находим угол: φ = arcsin(0,3) ≈ 17,5°. Для положительного максимума первого порядка угол отсчитывается от нормали к решётке.

Ответ: максимум первого порядка наблюдается под углом примерно 17,5°.

Задача 2. Максимум третьего порядка наблюдается под углом 30°, период решётки равен 3 мкм. Нужно определить длину волны света. Выражаем λ из d·sin(φ) = m·λ, получая λ = d·sin(φ)/m. Подстановка сразу даст длину в микрометрах, поскольку период задан в этих единицах.

1. Записываем данные: d = 3 мкм, m = 3, φ = 30°. Учитываем, что sin(30°) = 0,5.
2. Подставляем: λ = 3 мкм·0,5/3 = 0,5 мкм. Если нужно выразить результат в нанометрах, используем 1 мкм = 1000 нм.
3. Переводим единицы: 0,5 мкм = 500 нм. Полученная длина волны согласуется с формулой и положительным значением синуса.

Ответ: длина волны равна 0,5 мкм, или 500 нм.

Задача 3. На экране видны максимумы разных порядков для двух близких длин волн; требуется определить период и объяснить, как решётка различает длины волн. Числовые углы и порядки в условии не приведены, поэтому численное значение периода найти нельзя. Для каждой линии нужно измерить угол φ и знать порядок m, после чего применить формулу d = m·λ/sin(φ).

1. Для каждого измеренного максимума подставляем соответствующие m, λ и φ. Если длины волн неизвестны, одних углов недостаточно для определения периода: дополнительно требуется известная длина волны или другая независимая информация.
2. Когда длины волн известны, вычисляем d по нескольким максимумам. Сравнение результатов помогает проверить измерения; заметно отличающиеся значения указывают на ошибку в угле, порядке или переводе единиц.
3. Близкие длины волн создают максимумы при немного разных углах, потому что φ зависит от λ. Большое число щелей сужает пики, поэтому их положения легче различить даже при небольшом угловом расстоянии.

Ответ: период находят по d = m·λ/sin(φ), используя данные измерений; без чисел получить конкретный результат невозможно. Различение близких длин волн обеспечивают малое угловое расхождение максимумов и их узкая форма.

Типичные ошибки

Период иногда принимают за ширину одной щели. Так происходит, если забыть, что d измеряют от середины щели до середины соседней, включая непрозрачный промежуток. Проверка: сложите ширину щели и ширину промежутка, а затем убедитесь, что полученное расстояние соответствует соседним одинаковым точкам решётки.

В условие максимума могут ошибочно подставить d·cos(φ) = m·λ. Косинус появляется, когда берут не ту проекцию расстояния между щелями; разность хода определяется проекцией периода на направление распространения и равна d·sin(φ), если угол отсчитывают от нормали. Проверьте, от какой линии задан угол, и нарисуйте прямоугольный треугольник для проекции.

Ещё одна ошибка — считать m произвольным числом или забывать нулевой порядок. Порядок обозначает номер главного максимума, поэтому он целый, а центральная яркая полоса имеет m = 0. Для самопроверки подставьте m в формулу и проверьте, соответствует ли знак выбранной стороне от центра.

Если после вычислений получилось sin(φ) > 1, нельзя продолжать и искать угол на калькуляторе. Синус реального угла не выходит за пределы от −1 до 1, значит, при данных параметрах максимум такого порядка не существует. Проверьте единицы, значения m, λ и d, а если они записаны верно — сделайте вывод о невозможности максимума.

Связь с другими темами

Для изучения решётки нужны знания о дифракции и интерференции волн: именно совместное действие этих явлений создаёт картину максимумов. Понятие разности хода и условие усиления позволяют вывести формулу d·sin(φ) = m·λ, а тригонометрия помогает находить угол или длину волны. При вычислениях важно переводить метры, микрометры и нанометры в одну систему. Решётки применяют в спектральных приборах, чтобы измерять длины волн и различать близкие спектральные линии.

Что запомнить

• Дифракционная решётка состоит из большого числа периодически расположенных щелей.
• Период решётки d равен расстоянию между соседними щелями.
• Главные максимумы возникают при условии d·sin(φ) = m·λ.
• Порядок максимума m принимает целые значения, включая ноль.
• Центральный максимум соответствует m = 0.
• Чем больше щелей, тем уже и ярче главные максимумы.
• По положениям максимумов можно определить длину волны света.