§ 61. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световыми волнами препятствий и проникновение в область геометрической тени, особенно заметное при размерах препятствия, сравнимых с длиной волны. Геометрическая тень — область, куда не попал бы свет, если бы он распространялся только по прямым линиям. Понятие дифракции нужно, чтобы описывать поведение света у краёв и в узких отверстиях.

Принцип Гюйгенса—Френеля — представление о каждой точке волнового фронта как об источнике вторичных волн, которые интерферируют и формируют дифракционную картину. Волновой фронт — поверхность, точки которой колеблются в одинаковой фазе. Этот принцип помогает объяснить, почему свет распространяется в область за препятствием.

Дифракционная решётка — оптический прибор с большим числом равномерно расположенных щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Расстояние между соседними щелями называют периодом решётки и обозначают d. Решётка позволяет получать чёткие максимумы и измерять длины волн.

Дифракционный максимум — направление, в котором из-за интерференции волн свет усиливается. Максимум наблюдается, когда волны приходят согласованно, то есть их колебания усиливают друг друга. По углу максимума можно судить о длине волны и порядке максимума m.

Как это устроено

Дифракция подтверждает волновую природу света: волна способна распространяться за край препятствия и давать картину усиления и ослабления. Для частиц, летящих строго по прямым траекториям, такое проникновение в тень нехарактерно. Эффект становится заметным, если размеры щели или препятствия близки к длине волны: тогда вклад краёв и вторичных волн нельзя считать малым.

По принципу Гюйгенса—Френеля каждый участок фронта за щелью становится источником вторичной волны. Эти волны проходят разные расстояния до точки наблюдения, поэтому приходят с разными фазами. Если фазы согласованы, колебания усиливаются и появляется максимум; если волны приходят в противофазе, они частично или полностью гасят друг друга, образуя минимум.

В одной щели вторичные волны исходят из разных участков её ширины a. Для направления под углом φ разность хода крайних лучей равна a·sinφ. Когда она равна целому числу длин волн, участки щели попарно гасят друг друга, и наблюдается минимум: a·sinφ = mλ, где m = 1, 2, 3… . Между первыми минимумами находится центральный максимум; он шире боковых и обычно ярче, поскольку в центре волны от большей части щели приходят согласованно.

Решётка объединяет много щелей, и свет от каждой из них интерферирует со светом от остальных. При разности хода волн от соседних щелей, равной целому числу длин волн, все их вклады усиливают друг друга. Поэтому главные максимумы возникают при d·sinφ = mλ, где d — период решётки, а m — целый порядок, включая нулевой. В остальных направлениях волны от большого числа щелей в значительной степени компенсируются, и остаются тёмные промежутки.

Угол максимума зависит от длины волны: при одном и том же порядке длинноволновый свет отклоняется сильнее, чем коротковолновый. Если известны период решётки и порядок, измеренный угол позволяет найти λ. Поэтому белый свет за решёткой разделяется на цветные максимумы, а по их положениям исследуют спектр и определяют длины волн.

На графике показана нормированная интенсивность I/I₀ в зависимости от параметра x, связанного с углом дифракции. Центральный максимум находится при x = 0, а нули функции соответствуют минимумам. Боковые максимумы имеют меньшую интенсивность и постепенно ослабевают.

Сравнение дифракции на одной щели и на дифракционной решётке

Сначала определите, какой объект создаёт картину: одна щель или множество щелей решётки. Затем выберите соответствующее условие: формула щели задаёт минимумы, а формула решётки — главные максимумы. Сравнение также показывает, почему решётка удобнее для точных измерений и разделения цветов.

Разбор задач

Первый минимум на одной щели

Условие. На щель шириной 0,20 мм падает свет с длиной волны 600 нм. Требуется найти угол первого дифракционного минимума. Используем условие для щели, а не формулу решётки.

1. Переведём величины в метры: a = 0,20 мм = 2,0·10⁻⁴ м, λ = 600 нм = 6,0·10⁻⁷ м.
2. Для первого минимума m = 1, поэтому a·sinφ = λ и sinφ = λ/a = 6,0·10⁻⁷ / 2,0·10⁻⁴ = 0,003.
3. Так как угол мал, sinφ ≈ φ в радианах. Следовательно, φ ≈ 0,003 рад ≈ 0,172°.

Ответ: угол первого минимума примерно 0,17°. Малый результат согласуется с тем, что ширина щели намного больше длины волны.

Первый максимум решётки

Условие. Решётка имеет 500 штрихов на миллиметр, длина волны света равна 600 нм. Найдём угол максимума первого порядка. Сначала нужно определить расстояние между соседними штрихами.

1. Период равен обратной плотности штрихов: d = 1/(500 мм⁻¹) = 0,002 мм = 2,0·10⁻⁶ м.
2. Для главного максимума d·sinφ = mλ. При m = 1 получаем sinφ = λ/d = 6,0·10⁻⁷ / 2,0·10⁻⁶ = 0,30.
3. Находим угол: φ = arcsin(0,30) ≈ 17,5°. Значение синуса меньше единицы, значит такой максимум возможен.

Ответ: максимум первого порядка наблюдается примерно под углом 17,5° к нормали решётки.

Длина волны и возможный порядок

Условие. Решётка с периодом 2,0 мкм даёт максимум второго порядка под углом 36°. Нужно найти длину волны и проверить возможность максимума третьего порядка. Для проверки важно учитывать ограничение на синус угла.

1. Из условия d·sinφ = mλ выразим длину волны: λ = d·sinφ/m.
2. Подставим данные: λ = 2,0 мкм·sin36°/2 ≈ 2,0·0,588/2 мкм = 0,588 мкм, или около 588 нм.
3. Для третьего порядка требуется mλ ≤ d. Здесь 3·0,588 мкм = 1,764 мкм, что меньше 2,0 мкм, поэтому максимум возможен.

Ответ: длина волны около 588 нм; максимум третьего порядка возможен.

Типичные ошибки

Путают дифракцию с преломлением или отражением. Это происходит потому, что во всех случаях направление распространения света меняется, но при преломлении свет переходит между средами, а при отражении меняет направление на границе. При дифракции волна огибает препятствие, а картина связана с интерференцией; проверьте, объясняется ли задача краем, щелью или решёткой.

Для одной щели иногда используют условие d·sinφ = mλ. Формула кажется подходящей из-за похожего вида, но d обозначает период решётки, а условие щели задаёт минимумы: a·sinφ = mλ. Сверьте физический объект и тип искомой полосы перед подстановкой чисел.

Порядок максимума m принимают за любое число или забывают центральный максимум. На самом деле m — целое число: нулевой порядок соответствует центральному максимуму, а положительные порядки — боковым. Проверьте также, что вычисленный порядок согласуется с условием решётки и возможным значением синуса.

Период решётки вычисляют неверно, если просто принимают число штрихов за расстояние d. При N штрихах на единицу длины период равен d = 1/N; например, для штрихов на миллиметр результат сначала получится в миллиметрах. Приводите d и λ к одним единицам и проверяйте, что период больше длины волны, если ожидается ненулевой порядок.

Связь с другими темами

Для понимания дифракции нужны длина волны, частота, интерференция, разность хода и условия усиления и ослабления волн. Принцип Гюйгенса объясняет, как можно представить распространение фронта, а принцип Гюйгенса—Френеля связывает вторичные волны с интерференционной картиной. Эти идеи входят в волновую оптику и помогают объяснять свойства света за пределами геометрической оптики.

Дифракционная решётка превращает зависимость угла от длины волны в измеряемое разделение спектра. По положению максимумов определяют длины волн и исследуют цветовой состав света. Поэтому тема связана с оптическими измерениями и спектральным анализом.

Что запомнить

• Дифракция — огибание световыми волнами препятствий и отклонение от прямолинейного распространения.
• Дифракция заметна, если размер отверстия или препятствия сравним с длиной волны.
• Минимумы при дифракции на щели определяются условием a·sinφ = mλ.
• Главные максимумы дифракционной решётки определяются условием d·sinφ = mλ.
• Центральный максимум при дифракции на одной щели наиболее яркий и широкий.
• Дифракционная решётка позволяет измерять длину волны по углу максимума.
• Порядок максимума m — целое число; нулевой порядок соответствует центральному максимуму.