4. Последовательное и параллельное соединение проводников

Определения и обозначения

Последовательное соединение проводников — соединение, при котором конец одного проводника соединён с началом другого, а разветвлений между ними нет. Иными словами, у тока есть только один путь. Это определение помогает понять, почему ток через все проводники такой цепи одинаков.

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором оба конца каждого проводника подключены к одной и той же паре точек цепи. Такие точки называют узлами: в них ток может разделиться на ветви, а затем снова соединиться. По этой схеме можно определить, какие правила применять к току и напряжению.

Общее напряжение при последовательном соединении — напряжение на всём участке цепи, равное сумме напряжений на отдельных проводниках: U = U₁ + U₂ + …. Оно показывает, сколько энергии приходится на весь участок при переносе заряда. Это соотношение нужно, чтобы связать напряжения частей цепи с напряжением источника.

Эквивалентное сопротивление — сопротивление одного проводника, которым можно заменить соединённые проводники, не меняя ток и напряжение на участке. Обозначают его обычно Rэкв. Такая замена упрощает расчёт сложной цепи, если известно, как соединены её части.

Как это устроено

В последовательной цепи заряд не может выбрать другую ветвь: путь от одного конца участка к другому только один. Поэтому за одинаковое время через каждый проводник проходит одинаковое количество заряда. Сила тока равна заряду, прошедшему за единицу времени, значит, I = I₁ = I₂ = …. Если ток в одном месте стал бы другим, заряд накапливался бы между проводниками, но в установившемся режиме этого не происходит.

На каждом проводнике часть энергии заряда превращается в другие виды энергии, поэтому на нём возникает падение напряжения. Для всего последовательного участка эти падения складываются: U = U₁ + U₂ + …. По закону Ома U = IR, а ток во всех частях одинаков, поэтому IRэкв = IR₁ + IR₂ + …. Сократив общий ток, получаем Rэкв = R₁ + R₂ + …: сопротивления последовательных проводников складываются.

В параллельной цепи в узле заряд распределяется между ветвями, а после их соединения общий поток восстанавливается. Поэтому ток до разветвления равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂ + …. Концы каждой ветви находятся в одних и тех же двух точках, а напряжение определяется разностью потенциалов этих точек. Отсюда U = U₁ = U₂ = ….

Чтобы найти сопротивление параллельного участка, подставим закон Ома в правило сложения токов. Получаем U/Rэкв = U/R₁ + U/R₂ + …; напряжение U для всех ветвей одно и то же, поэтому после сокращения 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Именно обратные величины сопротивлений нужно складывать. Для двух резисторов можно преобразовать это выражение и получить Rэкв = R₁R₂/(R₁ + R₂).

Сравнение формул служит быстрой проверкой расчёта. При последовательном соединении Rэкв — сумма положительных сопротивлений, поэтому результат больше каждого из них. При параллельном соединении складываются обратные величины, а эквивалентное сопротивление получается меньше сопротивления любой отдельной ветви. Если ответ этому не соответствует, стоит проверить схему и вычисления.

Свойства последовательного и параллельного соединений

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посмотрите на схему: есть ли разветвления и к каким точкам подключены проводники. Затем выберите строку с нужной величиной — током, напряжением или сопротивлением. Последняя строка помогает проверить, правдоподобен ли полученный ответ.

Разбор задач

Два резистора сопротивлениями 3 Ом и 5 Ом соединены последовательно. Найти их эквивалентное сопротивление.

1. Определяем тип соединения: резисторы соединены последовательно, поэтому применяем формулу суммы сопротивлений.
2. Подставляем значения: Rэкв = R₁ + R₂ = 3 Ом + 5 Ом = 8 Ом.
3. Проверяем результат: эквивалентное сопротивление больше каждого из резисторов, как и должно быть при последовательном соединении.

Ответ: Rэкв = 8 Ом.

Два резистора сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к напряжению 12 В. Найти эквивалентное сопротивление и общий ток.

1. Для параллельного соединения складываем обратные сопротивления: 1/Rэкв = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. Значит, Rэкв = 2 Ом.
2. Напряжение на всём участке равно 12 В. По закону Ома общий ток I = U/Rэкв = 12 В/2 Ом = 6 А.
3. Проверяем сопротивление: 2 Ом меньше сопротивления каждой ветви — 3 Ом и 6 Ом. Это согласуется со свойством параллельного участка.

Ответ: Rэкв = 2 Ом, I = 6 А.

Резистор 4 Ом соединён последовательно с параллельной ветвью, содержащей резисторы 6 Ом и 3 Ом. Напряжение на всей цепи равно 18 В. Найти общий ток и токи в параллельных ветвях.

1. Сначала упрощаем параллельную ветвь: 1/Rпар = 1/6 + 1/3 = 1/2, поэтому Rпар = 2 Ом.
2. Сопротивление всей цепи равно сумме последовательных сопротивлений: Rобщ = 4 Ом + 2 Ом = 6 Ом. Общий ток I = 18 В/6 Ом = 3 А.
3. Через резистор 4 Ом проходит общий ток, поэтому на нём напряжение U₄ = IR = 3 А · 4 Ом = 12 В. На параллельном участке остаётся 18 В − 12 В = 6 В.
4. Напряжение каждой ветви равно 6 В. По закону Ома ток через резистор 6 Ом равен 6 В/6 Ом = 1 А, а через резистор 3 Ом — 6 В/3 Ом = 2 А.
5. Проверяем сложение токов в узле: 1 А + 2 А = 3 А, то есть сумма токов ветвей совпала с общим током.

Ответ: общий ток равен 3 А; токи в ветвях — 1 А через резистор 6 Ом и 2 А через резистор 3 Ом.

Типичные ошибки

При параллельном соединении иногда складывают сами сопротивления, как при последовательном. Путают правила, потому что оба случая содержат сложение, но при параллельном соединении складываются обратные величины: 1/Rэкв = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Проверьте себя по схеме и по результату: Rэкв должен быть меньше сопротивления каждой ветви.

Другая ошибка — считать напряжение одинаковым на последовательно соединённых проводниках. В такой цепи одинаков ток, а напряжения частей складываются и могут отличаться, если сопротивления различны. Проверка проста: найдите сумму напряжений на проводниках — она должна дать общее напряжение участка.

В параллельных ветвях иногда считают одинаковой силу тока. Но ток делится в узле, причём через ветвь с меньшим сопротивлением обычно идёт больший ток при одинаковом напряжении. Чтобы проверить расчёт, сложите токи ветвей: их сумма должна совпасть с общим током.

Наконец, можно получить для параллельного участка сопротивление больше, чем у одной из ветвей, и не заметить противоречие. Это бывает из-за неверного сложения дробей или применения формулы для другого типа соединения. Сравните ответ с каждым сопротивлением ветви: если Rэкв не меньше самого маленького из них, пересчитайте выражение для обратных величин.

Связь с другими темами

Для расчётов соединений нужны определения силы тока, напряжения и сопротивления, а также закон Ома для участка цепи: I = U/R. Он связывает электрические величины и позволяет перейти от сопротивления к току или напряжению. Правила соединения применяют при расчёте разветвлённых электрических цепей, бытовых электроприборов и комбинированных участков. Если в цепи есть оба типа соединения, её упрощают по частям.

Что запомнить

• При последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова.
• При последовательном соединении общее напряжение равно сумме напряжений на проводниках.
• Эквивалентное сопротивление последовательно соединённых проводников равно сумме их сопротивлений.
• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• Общий ток при параллельном соединении равен сумме токов в ветвях.
• Для параллельного соединения складываются обратные величины сопротивлений.
• Эквивалентное сопротивление параллельного участка меньше сопротивления любой его ветви.