§ 6. Закон электромагнитной индукции

Определения и обозначения

Электромагнитная индукция — возникновение индукционного тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока через ограниченную им поверхность. Иными словами, ток появляется не просто из-за присутствия магнита, а когда меняется магнитное воздействие на контур. Это понятие позволяет объяснить, как механическое движение или изменение поля создаёт электрический ток.

Магнитный поток — величина, характеризующая магнитное поле через выбранную поверхность. Для однородного поля и плоской поверхности Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь, а α — угол между вектором B и нормалью к поверхности. Поток нужен, чтобы одним выражением описывать влияние поля с учётом площади контура и его ориентации.

ЭДС индукции — ЭДС, возникающая в контуре при изменении магнитного потока через него; её обозначают εᵢ. ЭДС характеризует действие, которое вызывает движение зарядов в цепи. Она может существовать и в разомкнутом контуре, хотя устойчивого индукционного тока в нём тогда нет.

Закон электромагнитной индукции утверждает, что ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения магнитного потока с противоположным знаком: εᵢ = −ΔΦ/Δt. Здесь ΔΦ — изменение потока за промежуток времени Δt. Закон показывает, как быстрое изменение потока влияет на ЭДС и задаёт направление индукционного тока.

Как это устроено

Индукционный ток появляется тогда, когда меняется магнитный поток через контур, а не просто когда контур находится в магнитном поле. Поток зависит сразу от поля, площади поверхности и её ориентации, поэтому изменение любого из этих условий способно вызвать индукцию. Например, можно перемещать магнит относительно неподвижного контура, менять площадь рамки или поворачивать её в постоянном поле. Во всех случаях причина одна: меняется магнитное воздействие, проходящее через контур.

Чтобы сравнивать разные способы изменения магнитного воздействия, вводят магнитный поток Φ. Для плоской поверхности в однородном поле его вычисляют по формуле Φ = BS cos α. Если поле направлено вдоль нормали, α = 0 и поток максимален; если поле параллельно плоскости контура, α = 90° и поток равен нулю. Так формула учитывает не только силу поля и размер поверхности, но и то, насколько поверхность обращена к полю.

ЭДС зависит не от самого потока, а от того, насколько быстро он меняется. Если за короткое время Δt поток изменился на ΔΦ, средняя ЭДС равна εᵢ = −ΔΦ/Δt; при непрерывном изменении используют предельную форму εᵢ = −dΦ/dt. Чем больше изменение за одинаковое время, тем больше модуль ЭДС, а одинаковое изменение за меньшее время также даёт большую ЭДС. Если поток постоянен, его производная равна нулю и ЭДС индукции не возникает.

Знак минус в формуле связан с правилом Ленца. Индукционный ток создаёт собственное магнитное поле, которое противодействует именно изменению внешнего потока: при его увеличении поле тока стремится ослабить рост, а при уменьшении — поддержать поток. Поэтому сначала выясняют, как меняется внешний поток, затем определяют, какое поле должно создать противодействие. По направлению этого поля находят направление тока, например с помощью правила правой руки.

В катушке каждый виток участвует в индукции. Если поток через все N витков меняется одинаково, возникающие ЭДС складываются, поэтому εᵢ = −NΔΦ/Δt. При том же изменении потока увеличение числа витков во столько же раз увеличивает модуль ЭДС. Множитель N учитывают именно потому, что складываются вклады витков, а не потому, что меняется сопротивление катушки.

Магнитный поток и ЭДС индукции

Сначала выберите, какую величину требуется найти: поток, среднюю ЭДС или её направление. Угол в формуле потока всегда отсчитывают от нормали к поверхности, а в законе индукции знак учитывают при определении направления. Для модуля ЭДС достаточно взять модуль изменения потока.

Разбор задач

Задача 1. Магнитный поток через плоский контур в однородном поле равен 0,12 Вб. Найти угол между вектором магнитной индукции и нормалью к контуру, если B = 0,4 Тл и S = 0,5 м².

1. Записываем формулу потока: Φ = BS cos α. Неизвестен угол, поэтому сначала выразим косинус: cos α = Φ/(BS).
2. Подставляем значения: cos α = 0,12/(0,4 · 0,5) = 0,12/0,2 = 0,6.
3. Находим угол: α = arccos 0,6 ≈ 53°. Это угол именно с нормалью, как указано в условии формулы.

Ответ: α ≈ 53°.

Задача 2. Поток через контур равномерно изменился с 0,08 Вб до −0,02 Вб за 0,05 с. Найти модуль средней ЭДС индукции.

1. Сначала учитываем знаки начального и конечного потоков: ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = −0,02 − 0,08 = −0,10 Вб.
2. Для модуля средней ЭДС применяем |εᵢ| = |ΔΦ|/Δt. Минус в изменении важен для направления, но при вычислении модуля берём абсолютное значение.
3. Подставляем: |εᵢ| = 0,10/0,05 = 2 В.

Ответ: 2 В.

Задача 3. В катушке из 200 витков магнитный поток через каждый виток равномерно уменьшился на 3·10⁻⁴ Вб за 0,02 с. Определить модуль ЭДС и направление индукционного тока, если внешнее поле направлено к наблюдателю.

1. Находим модуль изменения потока через один виток: |ΔΦ| = 3·10⁻⁴ Вб. Для катушки используем множитель N, поэтому |εᵢ| = N|ΔΦ|/Δt.
2. Подставляем: |εᵢ| = 200 · 3·10⁻⁴/0,02 = 0,06/0,02 = 3 В.
3. Внешнее поле направлено к наблюдателю и уменьшается. Чтобы противодействовать уменьшению, поле индукционного тока тоже должно быть направлено к наблюдателю.
4. По правилу правой руки такое поле создаёт ток, идущий против часовой стрелки, если смотреть со стороны наблюдателя.

Ответ: 3 В; ток направлен против часовой стрелки при взгляде со стороны наблюдателя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ЭДС определяется величиной магнитного потока. Так думают, потому что поток входит в формулу закона, но в ней стоит именно его изменение за время. Проверьте, сравниваете ли вы начальное и конечное значения и делите ли разность на Δt; постоянный поток даёт нулевую ЭДС.

Ошибка: подставлять угол между плоскостью контура и вектором B в формулу Φ = BS cos α. Путаница возникает из-за того, что в условии угол иногда описывают относительно самой рамки. Сверьте определение: α отсчитывается от нормали; если дан угол с плоскостью, он дополняет угол с нормалью до 90°.

Ошибка: считать знак минус необязательным. При вычислении модуля его действительно не используют, но при определении направления он задаёт правило Ленца. Для проверки отдельно запишите, увеличивается или уменьшается внешний поток, а затем установите, какое поле должно противодействовать этому изменению.

Ошибка: забывать множитель N или думать, что он нужен только при расчёте сопротивления. В катушке складываются ЭДС всех витков, поэтому число витков входит прямо в закон для катушки. Проверьте, говорится ли в условии о катушке и задан ли поток через каждый виток; если да, учтите N.

Связь с другими темами

Для изучения индукции нужны представления о магнитном поле, магнитной индукции и направлении вектора B. Основы закона Ома помогают понять, как ЭДС вызывает ток в замкнутой цепи и почему его величина зависит также от сопротивления. Закон электромагнитной индукции служит основой для изучения самоиндукции, индуктивности и энергии магнитного поля. На том же принципе работают генераторы переменного тока и трансформаторы: изменение магнитного потока позволяет получать или передавать электрическую энергию.

Что запомнить

• Индукционный ток возникает при изменении магнитного потока через контур.
• Для плоского контура в однородном поле Φ = BS cos α, где α — угол между B и нормалью к поверхности.
• ЭДС индукции определяется скоростью изменения потока.
• Для одного контура εᵢ = −ΔΦ/Δt.
• Для катушки из N витков εᵢ = −NΔΦ/Δt.
• Знак минус выражает правило Ленца: индукционный ток противодействует изменению потока.