§ 27. Реактивное движение. Освоение космоса

Определения и обозначения

Реактивное движение — движение тела, возникающее при отделении от него части вещества. Оно основано на законе сохранения импульса: если внешним воздействием можно пренебречь, общий импульс тела и отделившейся части остаётся прежним. Поэтому этот закон позволяет связать скорость тела со скоростью выброшенного вещества.

Ракета — тело, которое движется за счёт выброса части собственного вещества. В отличие от автомобиля, ракета не отталкивается от дороги, а значит, ей не нужна опора. Окружающая среда тоже не обязательна: ракету разгоняет взаимодействие с выбрасываемыми газами.

Скорость истечения газов — скорость продуктов сгорания относительно ракеты. Чем быстрее газы уходят назад, тем больший импульс они уносят и тем больший импульс получает ракета вперёд. Эта величина помогает оценить, насколько эффективно двигатель способен разгонять ракету.

Космические скорости — характерные минимальные скорости, необходимые для движения по орбите, ухода от притяжения Земли или достижения других небесных тел. Они не являются одинаковыми для всех планет: значение зависит от массы и размера небесного тела, а также от условий старта. Сравнение этих скоростей показывает, какую задачу может выполнить космический аппарат.

Как это устроено

Представим ракету и находящиеся в ней газы как одну систему. При сгорании топлива газы выбрасываются назад и получают импульс; сила их взаимодействия с ракетой сообщает ей импульс вперёд. Если внешние силы за короткое время несущественны, сумма импульсов до и после выброса одинакова. Поэтому направление движения ракеты противоположно направлению истечения газов.

В космосе почти нет воздуха, но это не мешает двигателю работать. Ракетное топливо сгорает внутри двигателя, а сопло направляет продукты сгорания назад. Ракета получает противоположный импульс не от воздуха, а от газов, которые сама выбрасывает. Поэтому работа двигателя возможна и в вакууме.

По мере расходования топлива масса ракеты уменьшается, а её скорость может возрастать. Для идеальной ракеты изменение скорости выражает формула Циолковского: Δv = u ln(m₀/m₁), где u — скорость истечения газов, m₀ — масса до разгона, m₁ — масса после расхода топлива. Большая скорость истечения увеличивает разгон, а отношение m₀/m₁ показывает, сколько топлива приходится на конечную массу ракеты. Важно не путать: начальная масса больше конечной.

Одна ракета может состоять из нескольких ступеней — частей с собственными двигателями и запасом топлива. Когда топливо ступени израсходовано, её отделяют, чтобы не разгонять пустые баки и двигатели. Масса оставшейся ракеты становится меньше, поэтому следующая ступень расходует топливо эффективнее. Так можно достичь большей скорости, чем при попытке разогнать всю конструкцию целиком.

Чтобы вывести аппарат на орбиту или отправить его к другой планете, ракете нужно сообщить подходящую скорость. Для круговой орбиты у поверхности Земли достаточно первой космической скорости, а для ухода от земного притяжения нужна вторая. Полёт к другим планетам требует не только преодолеть земное притяжение, но и выбрать нужные направление и траекторию. Значение скорости при этом зависит от цели и условий старта, а не только от того, что аппарат называется космическим.

Космические скорости у поверхности Земли

В таблице приведены ориентировочные значения скоростей для старта у поверхности Земли. По столбцу «Что позволяет сделать» можно определить, какая скорость нужна для заданной задачи. Это минимальные характерные значения: реальный полёт зависит от высоты и направления старта, сопротивления атмосферы и выбранной траектории.

Разбор задач

Тележка и выброшенный груз

Тележка массой 10 кг покоится на гладкой поверхности. С неё горизонтально выбрасывают груз массой 2 кг со скоростью 5 м/с относительно земли. Нужно найти скорость тележки после выброса. Направление выброса примем за положительное; до выброса суммарный импульс системы равен нулю.

1. Выберем систему «тележка и груз». Внешним горизонтальным воздействием можно пренебречь благодаря гладкой поверхности, поэтому применим закон сохранения импульса.
2. После выброса импульс груза равен 2 кг · 5 м/с = 10 кг·м/с. Для сохранения нулевого суммарного импульса тележка должна получить импульс −10 кг·м/с.
3. Масса оставшейся тележки равна 10 кг, поэтому её скорость v = −10/10 = −1 м/с. Минус указывает, что тележка движется против направления выброса груза.

Ответ: скорость тележки равна 1 м/с в сторону, противоположную выбросу груза. Такой результат получается именно потому, что начальный импульс системы был нулевым.

Изменение скорости ракеты

Скорость истечения газов относительно ракеты равна 2 км/с, а масса ракеты уменьшается с 500 до 400 кг. Найдём, на сколько изменится скорость при постоянной скорости истечения и отсутствии потерь. Требуется именно приращение скорости, а не конечная скорость ракеты: её начальная скорость в условии не задана.

1. Используем формулу Циолковского: Δv = u ln(m₀/m₁). Здесь u = 2 км/с, начальная масса m₀ = 500 кг, конечная масса m₁ = 400 кг.
2. Подставим отношение масс в правильном порядке: m₀/m₁ = 500/400 = 1,25. Тогда Δv = 2 ln(1,25) км/с.
3. Поскольку ln(1,25) ≈ 0,223, получаем Δv ≈ 0,446 км/с, или около 446 м/с. Отношение больше единицы, поэтому приращение скорости положительно.

Ответ: скорость ракеты увеличится примерно на 0,45 км/с. При реальном полёте результат может быть меньше из-за действия внешних сил и потерь.

Спутник на высоте 300 км

Спутник движется по круговой орбите на высоте h = 300 км над Землёй. Радиус Земли R и её гравитационный параметр μ считаем известными; нужно найти скорость и период обращения. Параметр μ обозначает произведение гравитационной постоянной на массу Земли, а радиус орбиты отсчитывается от центра планеты.

1. Переведём высоту в метры, если R задан в метрах: h = 300 000 м. Радиус орбиты равен r = R + h, а не только высоте над поверхностью.
2. Для круговой орбиты гравитационное ускорение обеспечивает центростремительное движение: μ/r² = v²/r. Отсюда скорость спутника v = √(μ/r).
3. Период — время одного полного оборота. Длина окружности равна 2πr, поэтому T = 2πr/v; после подстановки скорости получаем T = 2π√(r³/μ).

Ответ: v = √(μ/(R + 300 000 м)), T = 2π√((R + 300 000 м)³/μ). Чтобы получить численные значения, подставьте заданные в условии значения R и μ в единицах СИ.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что ракета отталкивается от воздуха. Так думают, потому что привычные механизмы часто взаимодействуют с опорой или окружающей средой. Но ракета движется за счёт выброса газов; проверить это можно мысленным опытом с ракетой в вакууме — двигатель продолжит работать.

Ошибка: направлять импульс ракеты туда же, куда летят газы. Путаница возникает, если не задать направления и не записать импульсы как векторы. Импульсы противоположны; проверка — сравнить их сумму до и после выброса и убедиться, что закон сохранения импульса выполняется.

Ошибка: подставлять в формулу Циолковского отношение конечной массы к начальной. Из-за этого логарифм становится отрицательным, хотя при выбросе топлива ракета разгоняется. Запишите массы отдельно: m₀ — масса до расхода топлива, m₁ — после; при расходовании топлива m₀ > m₁, поэтому в формуле стоит m₀/m₁.

Ошибка: считать космическую скорость одинаковой на любой высоте и для любого небесного тела. Часто запоминают одно число, не учитывая, что скорость связана с притяжением конкретного тела. Проверяйте, для какого тела и какой задачи дана скорость: орбитальная, скорость ухода или скорость для полёта за пределы системы имеют разные значения.

Связь с другими темами

Для понимания реактивного движения нужны импульс тела и закон сохранения импульса: они позволяют определить направление и величину разгона после выброса вещества. Расчёт орбит связывает тему с законом всемирного тяготения и движением спутников. Эти идеи применяются при изучении космонавтики, полётов аппаратов и движения тел переменной массы.

Что запомнить

• Реактивное движение возникает при отделении части вещества от тела.
• Ракета получает импульс, противоположный импульсу выбрасываемых газов.
• Для движения ракете не нужна опора или окружающая среда.
• Увеличение скорости истечения газов повышает возможную скорость ракеты.
• Сброс отработавших ступеней помогает уменьшить массу ракеты.
• Первая космическая скорость у Земли составляет примерно 7,9 км/с, вторая — примерно 11,2 км/с.