4. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — множество параллельных равноотстоящих щелей или штрихов. Свет проходит через щели или отражается от штрихов, огибает их края и распространяется в разных направлениях. Волны от множества элементов накладываются друг на друга: в одних направлениях они усиливаются, в других ослабляются. Благодаря этому на экране появляется закономерная картина из ярких и тёмных областей.

Период дифракционной решётки d — расстояние между соседними щелями или штрихами. Если на отрезке длиной L расположено N одинаково отстоящих штрихов, период равен d = L/N. Например, для числа штрихов, указанного на миллиметр, сначала нужно выразить миллиметр в метрах, а затем разделить его на это число. Период нужен для расчёта направлений, в которых появятся максимумы.

Главный максимум — яркая полоса, возникающая, когда волны от соседних щелей усиливают друг друга. Разные максимумы наблюдаются под разными углами, потому что при изменении направления меняется разность хода волн. Для каждого порядка требуется своё значение разности хода, кратное длине волны. Поэтому максимумы не сливаются в одну полосу, а располагаются по сторонам от центрального.

Порядок дифракционного максимума k — целое число, обозначающее положение максимума относительно центрального. При k = 0 получается центральный максимум, а при k = 1 и k = −1 — первые максимумы по разные стороны от него. Значение k показывает, во сколько длин волн должна составлять разность хода соседних волн для усиления. Оно также помогает определить, может ли максимум данного порядка существовать при выбранных периоде решётки и длине волны.

Как это устроено

Каждая щель решётки становится источником световой волны: после прохождения через узкую щель свет распространяется не только прямо, но и в стороны. Это явление называется дифракцией. Поскольку щелей много, волны от них приходят в одну и ту же область экрана и складываются. Их сложение называется интерференцией, и именно она создаёт чередование ярких и тёмных полос.

Чтобы понять, где возникнет яркая полоса, сравним волны от двух соседних щелей. Если смотреть под углом φ к перпендикуляру решётки, одна волна проходит немного большее расстояние, чем другая. Эта разность хода равна d sin φ, где d — период решётки. Когда разность хода равна целому числу длин волн, волны приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга; при промежуточных значениях они частично ослабляются.

Так получается условие главных максимумов d sin φ = kλ. Здесь d — период решётки, φ — угол между выбранным направлением и перпендикуляром к решётке, λ — длина волны света, а k — целый порядок максимума. При k = 0 разность хода равна нулю, поэтому волны усиливаются прямо напротив решётки: это центральный максимум. При ненулевом k максимум располагается под углом, который удовлетворяет формуле.

Если период решётки и порядок зафиксированы, то увеличение длины волны требует большего значения sin φ. В пределах углов от 0° до 90° большему синусу соответствует больший угол, поэтому красный свет отклоняется сильнее фиолетового. Этот эффект позволяет разделять свет по длинам волн. Решётка служит не просто экраном с яркими полосами, а инструментом, который помогает исследовать состав света.

В белом свете смешаны волны разных длин. Для центрального максимума k = 0, и условие даёт φ = 0° для всех цветов, поэтому он остаётся белым. По обе стороны от него возникают спектры: при одинаковом ненулевом порядке фиолетовый свет с меньшей длиной волны расположен ближе к центру, а красный с большей длиной волны — дальше. Спектры симметричны относительно центрального максимума, поскольку максимумы каждого порядка возникают под углами с противоположными знаками.

Главные максимумы дифракционной решётки

Сначала определите, что требуется найти: период, угол или допустимый порядок. Затем запишите условие максимума и проверьте, что все длины выражены в одинаковых единицах. В таблице также видно, почему нельзя подставлять вместо периода число штрихов на единицу длины: сначала это число нужно обратить.

Разбор задач

Задача 1. Найдите период решётки с 500 штрихами на миллиметр.

Число штрихов на единицу длины показывает, сколько промежутков укладывается в заданной длине. Поэтому для нахождения расстояния между соседними штрихами единицу длины нужно разделить на число штрихов. Переведём миллиметр в метры: 1 мм = 10⁻³ м. Ответ запишем также в микрометрах, чтобы его было удобно сопоставить с длиной волны.

1. Записываем число штрихов: N = 500 на отрезке L = 1 мм = 10⁻³ м.
2. Используем формулу периода: d = L/N = 10⁻³ м / 500 = 2 · 10⁻⁶ м.
3. Переводим результат: 2 · 10⁻⁶ м = 2 мкм.

Ответ: d = 2 мкм.

Задача 2. На решётку с периодом 2,0 мкм нормально падает свет длиной волны 500 нм. Найдите угол первого главного максимума.

Первому максимуму соответствует k = 1. В формулу входят период и длина волны, поэтому перед подстановкой переведём их в метры: 2,0 мкм = 2,0 · 10⁻⁶ м, а 500 нм = 5,0 · 10⁻⁷ м. Нормальное падение означает, что формулу для угла максимума можно применять без поправок на наклон падающего луча. После подстановки найдём угол, синус которого равен полученному отношению.

1. Записываем условие: d sin φ = kλ, откуда sin φ = kλ/d.
2. Подставляем значения: sin φ = 1 · (5,0 · 10⁻⁷ м)/(2,0 · 10⁻⁶ м) = 0,25.
3. Находим угол: φ = arcsin 0,25 ≈ 14,5°.

Ответ: угол первого главного максимума примерно 14,5°.

Задача 3. Для решётки с периодом 3,0 мкм определите наибольший возможный порядок максимума для света длиной волны 600 нм.

Искомый порядок — целое число, поэтому недостаточно просто вычислить отношение периода к длине волны: результат нужно округлить вниз до целого. Причина ограничения в том, что синус угла не может превышать единицу. Для наибольшего порядка максимум может находиться под углом, близким к 90°, но большего синуса получить нельзя. Сначала приведём обе длины к одним единицам.

1. Переводим величины: d = 3,0 · 10⁻⁶ м, λ = 600 нм = 6,0 · 10⁻⁷ м.
2. Из d sin φ = kλ и sin φ ≤ 1 следует kλ ≤ d, значит k ≤ d/λ.
3. Вычисляем отношение: d/λ = (3,0 · 10⁻⁶)/(6,0 · 10⁻⁷) = 5. Наибольшее целое значение k, удовлетворяющее условию, равно 5.

Ответ: наибольший возможный порядок — k = 5.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу число штрихов на единицу длины вместо периода. Число штрихов показывает, сколько промежутков приходится на длину, а период — размер одного промежутка, поэтому это величины, обратные друг другу. Ошибку легко допустить, если запомнить число с маркировки решётки, но не перевести его в расстояние. Проверка: вычислите d = L/N и убедитесь, что результат имеет единицы длины.

Смешивают нанометры и микрометры при вычислениях. Их численные значения отличаются в тысячу раз, поэтому без перевода можно получить неверный угол или невозможное значение синуса. Обычно ошибка возникает, когда подставляют числовые значения в формулу, не записав единицы. Перед расчётом выразите d и λ в метрах или в одинаковых кратных единицах и проверьте порядок величины.

Принимают k за любое действительное число, хотя порядок максимума должен быть целым. Формула сама по себе может дать дробное отношение, но это отношение не означает существование максимума такого порядка. Ошибка появляется, если не связать k с целым числом полос относительно центральной. Проверка: укажите, какой именно максимум рассматривается, и используйте k = 0, ±1, ±2 и так далее.

Считают, что максимум любого порядка обязательно можно наблюдать. Однако из условия следует sin φ = kλ/d, а значение синуса не превышает единицу по модулю. Если расчёт даёт |kλ/d| > 1, соответствующего направления не существует. Проверяйте допустимость результата до вычисления угла: должно выполняться |k| ≤ d/λ.

Связь с другими темами

Для понимания работы решётки нужны представления о дифракции и интерференции света, длине волны и разности хода. Дифракция объясняет, почему волна распространяется за края щели, а интерференция — почему в одних направлениях свет усиливается, а в других ослабляется. Условие максимума связывает разность хода с длиной волны. Дифракционные решётки используют для получения и анализа спектров, в том числе при изучении состава излучения: положение линий помогает определить, какие длины волн присутствуют в свете.

Что запомнить

• Решётка состоит из большого числа равноотстоящих щелей или штрихов.
• Период решётки d — расстояние между соседними щелями или штрихами.
• Главные максимумы возникают при условии d sin φ = kλ.
• Порядок максимума k — целое число; при k = 0 наблюдается центральный максимум.
• При большей длине волны максимум того же порядка находится под большим углом.
• Наибольший возможный порядок ограничен условием sin φ ≤ 1.