§ 53. Дифракционная решётка

Определения и обозначения

Дифракционная решётка — оптический прибор с большим числом одинаковых, равноотстоящих щелей или штрихов. Щели пропускают свет, а штрихи могут его отражать или рассеивать, поэтому прибор разделяет световой пучок на направления, в которых свет усиливается. Чем больше элементов решётки участвует в образовании картины, тем чётче выделяются яркие максимумы. Это позволяет наблюдать спектр и измерять длины волн.

Период дифракционной решётки d — расстояние между серединами соседних щелей или штрихов. Если на единицу длины приходится N штрихов, период равен обратной величине: d = 1/N. Например, при подсчёте штрихов на миллиметр период сначала получается в миллиметрах, а для формул его можно перевести в метры. Период задаёт, насколько сильно решётка разводит световые лучи по углам.

Главный максимум — направление, в котором волны от всех щелей усиливают друг друга. Его порядок обозначают целым числом k: центральному максимуму соответствует k = 0, а соседним — k = ±1 и далее. Порядок показывает, сколько длин волн составляет разность хода волн от соседних щелей. По нему можно отличать центральную полосу от максимумов по обе стороны от неё.

Дифракционный спектр — расположение максимумов разных цветов по разные стороны от центрального максимума. Цвета оказываются разделены, потому что длина волны у них различна, а условие максимума связывает её с углом наблюдения. Поэтому для каждого цвета яркие полосы возникают под своим углом. Решётка превращает различие длин волн в различие направлений.

Как это устроено

При освещении решётки свет проходит через множество узких щелей. Каждая щель становится источником вторичных волн, то есть волн, распространяющихся дальше от неё. В любой точке за решёткой одновременно встречаются волны от разных щелей, и их наложение называется интерференцией. В одних направлениях волны усиливают друг друга, а в других ослабляют, поэтому свет распределяется не равномерно, а образует чередование ярких и тёмных областей.

Чтобы понять, где появится усиление, сравнивают волны от двух соседних щелей. Если наблюдать свет под углом φ к направлению падающего пучка, волне от одной щели приходится пройти немного больше, чем волне от соседней. Эта разность хода зависит от расстояния между щелями и угла наблюдения: Δ = d sin φ. При большем периоде или большем угле разность хода растёт, потому что увеличивается геометрическая разница путей.

Волны усиливают друг друга, когда разность хода составляет целое число длин волн: Δ = kλ. Тогда волна от соседней щели приходит в той же фазе, что и волна от первой, а такое же условие выполняется для остальных щелей. Подставляя Δ = d sin φ, получаем условие главных максимумов: d sin φ = kλ. Целое k задаёт порядок максимума, а угол φ — направление, в котором он виден.

При k = 0 разность хода равна нулю, поэтому центральный максимум возникает прямо по направлению распространения падающего света. Для k = 1 и k = −1 получаются максимумы первого порядка по разные стороны от центра; те же пары есть у следующих порядков. Симметрия возникает потому, что при изменении знака угла меняется знак sin φ, и уравнение сохраняется при противоположном знаке k. Поэтому положение максимумов удобно отсчитывать от центрального.

Для одного и того же порядка угол зависит от длины волны: из условия следует sin φ = kλ/d. Чем больше λ, тем больше синус угла и сам угол в пределах от 0° до 90°. Красный свет имеет большую длину волны, чем фиолетовый, поэтому его максимум отклоняется дальше от центра. Когда на решётку падает белый свет, максимумы разных цветов расходятся и образуют спектр, тогда как центральный максимум остаётся общим для цветов.

Главные максимумы дифракционной решётки

Чтобы пользоваться таблицей, подставьте длину волны и период решётки в условие, а затем найдите угол или проверьте допустимость порядка. Знак k указывает сторону от центра, а модуль k — номер порядка. Ограничение в последнем столбце следует из того, что модуль синуса не может быть больше единицы.

Разбор задач

Задача 1

Решётка содержит 100 штрихов на 1 мм. Найдите угол первого максимума для света с длиной волны 500 нм. Сначала необходимо определить период: плотность штрихов дана на миллиметр, поэтому расстояние между ними будет одной сотой миллиметра. Затем применим условие для первого порядка.

1. Находим период: d = 1 мм / 100 = 0,01 мм = 10 мкм = 10 000 нм. Переводим величины в одинаковые единицы, чтобы их можно было подставить в формулу.
2. Для первого максимума k = 1, поэтому sin φ = kλ/d = 500/10 000 = 0,05. Искомый угол равен φ = arcsin 0,05 ≈ 2,9°.

Ответ: угол первого максимума составляет примерно 2,9°. Угол небольшой, что согласуется с тем, что длина волны гораздо меньше периода решётки.

Задача 2

Период решётки равен 2,0 мкм. Первый максимум наблюдается под углом, синус которого равен 0,30. Найдите длину волны света. Здесь угол уже не нужно вычислять: известен его синус, а порядок максимума задан как первый.

1. Записываем условие d sin φ = kλ и выражаем искомую длину волны: λ = d sin φ/k. Такое преобразование позволяет сразу подставить известные значения.
2. Подставляем d = 2,0 мкм, sin φ = 0,30 и k = 1: λ = 2,0 · 0,30/1 = 0,60 мкм. Переводим результат: 0,60 мкм = 600 нм.

Ответ: длина волны равна 600 нм. Она соответствует видимому свету красно-оранжевой области спектра.

Задача 3

Период решётки равен 2,4 мкм, длина волны света — 600 нм. Определите наибольший возможный порядок максимума и общее число максимумов. Сначала выясним, какие целые k допускает решётка, затем посчитаем центральный максимум и симметричные пары.

1. Максимально возможное значение |sin φ| равно 1, поэтому необходимо, чтобы |k|λ ≤ d. Делим период на длину волны: d/λ = 2,4 мкм / 0,6 мкм = 4.
2. Наибольший порядок k равен 4. Допустимы порядки от −4 до +4 включительно, поэтому число максимумов равно 4 + 4 + 1 = 9; единица учитывает центральный максимум k = 0.

Ответ: наибольший порядок — 4, общее число максимумов — 9. При k = ±4 угол достигает предельного значения, соответствующего sin φ = ±1.

Типичные ошибки

Период решётки иногда путают с числом штрихов на единицу длины. Число штрихов показывает плотность, а период — расстояние между соседями, поэтому эти величины обратны друг другу: d = 1/N. Путаница возникает, когда оба параметра называют характеристикой частоты штрихов. Проверьте единицы: плотность измеряется, например, в штрихах на миллиметр, а период — в миллиметрах или метрах.

Условие d sin φ = λ записывают как общее для любого максимума, забывая множитель k. Оно подходит только для первого порядка, если k = 1. Ошибка появляется из-за того, что в простейших примерах рассматривают именно ближайший максимум. Перед вычислениями проверьте, какой порядок указан в задаче, и подставьте его в полную формулу d sin φ = kλ.

Можно ошибочно решить, что максимума при k = 0 нет, поскольку нулевое значение кажется не номером. Но это центральный максимум: при нём разность хода равна нулю, и волны от щелей усиливаются по направлению падающего света. Чтобы проверить себя, подставьте k = 0 в уравнение: получится sin φ = 0, то есть направление φ = 0°.

Ещё одна ошибка — считать возможным порядок, при котором kλ больше d. Тогда из уравнения получилось бы |sin φ| > 1, а такое значение не соответствует ни одному углу. Это происходит, если найденное отношение округляют вверх или не проверяют предел синуса. Проверка проста: сравните |k|λ с d; допустимы только значения, для которых |k|λ ≤ d.

Связь с другими темами

Для объяснения решётки нужны знания об интерференции, сложении волн и условии их усиления при разности хода, равной целому числу длин волн. Эти идеи применяются к волнам, а здесь помогают понять, почему свет от отдельных щелей создаёт общую картину максимумов. Тема непосредственно связана с дифракцией света — отклонением и распределением световых волн при прохождении через препятствия и узкие отверстия. В спектральных приборах решётку используют, чтобы измерять длины волн и анализировать состав излучения по его спектру.

Что запомнить

• Период решётки — расстояние между соседними щелями или штрихами.
• Главные максимумы возникают при d sin φ = kλ.
• Порядок максимума k принимает целые значения, включая ноль.
• Нулевой максимум расположен по направлению распространения падающего света.
• Максимально возможный порядок ограничен условием |kλ| ≤ d.
• Угол максимума зависит от длины волны, поэтому решётка разделяет свет по цветам.