§ 52. Дифракция света

Определения и обозначения

Дифракция света — огибание световыми волнами препятствий и проникновение в область геометрической тени. Это волновое явление показывает, почему свет не всегда идёт строго по прямой. Оно заметно, когда размер щели или препятствия сравним с длиной волны.

Принцип Гюйгенса утверждает, что каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн. Волновой фронт — поверхность, на которой колебания происходят в одинаковой фазе. Принцип помогает представить, как свет распространяется за краями щели или препятствия.

Дифракционная картина — чередование максимумов и минимумов освещённости, возникающее при дифракции. Максимумы выглядят светлыми участками, минимумы — тёмными. По их расположению судят о том, как волны складываются в разных направлениях.

Дифракционный максимум и минимум — соответственно область усиления и область ослабления света вследствие интерференции вторичных волн. Когда волны приходят согласованно, их колебания усиливаются; при взаимном гашении освещённость уменьшается. Эти понятия нужны для описания полос на экране и расчёта их положения.

Как это устроено

Представим, что плоская световая волна проходит через узкую щель. По принципу Гюйгенса каждый участок открытой части волнового фронта становится источником вторичных волн, которые распространяются и вперёд, и в стороны. За щелью эти волны могут попасть в область, куда лучи геометрической оптики не проникли бы. Поэтому на экране возникает свет за краями прямолинейного пучка.

Дифракция становится заметной, когда ширина щели или размер препятствия сравнимы с длиной волны. Если щель намного шире длины волны, вторичные волны в основном усиливают свет в направлении вперёд, а отклонения в стороны малы. Когда размеры сопоставимы, различия хода волн заметно меняют их взаимное усиление. Поэтому световая энергия распределяется по более широкому набору направлений.

Вторичные волны накладываются друг на друга, то есть интерферируют. В одних направлениях разность хода приводит к усилению колебаний и образуется максимум, в других волны ослабляют друг друга и появляется минимум. На экране это выглядит как чередование светлых и тёмных полос. Для одной щели минимумы удовлетворяют условию a·sinφ = mλ, где a — ширина щели, φ — угол наблюдения, λ — длина волны, а m — целое ненулевое число.

Центральный максимум расположен напротив середины щели, в направлении φ = 0, где вклады волн складываются особенно сильно. Он простирается от первого минимума с одной стороны до первого минимума с другой, то есть охватывает промежуток от −λ/a до +λ/a по величине sinφ. Боковой максимум располагается между двумя соседними минимумами, расстояние между которыми соответствует одному порядку m. Поэтому центральная полоса примерно вдвое шире соседних и обычно ярче их.

Из условия минимума видно: при уменьшении ширины щели a угол первого минимума увеличивается, а при увеличении длины волны λ он тоже увеличивается. Значит, в обоих случаях картина расширяется; узкая щель сильнее отклоняет свет в стороны. Для малых углов sinφ ≈ φ, поэтому угол первого минимума примерно равен λ/a. Если экран удалён на расстояние L, ширина центрального максимума приблизительно равна 2Lλ/a.

На графике показано, как меняется относительная интенсивность света в зависимости от величины a·sinφ/λ. Нули соответствуют минимумам, а самый высокий пик в центре — центральному максимуму. Боковые максимумы заметно слабее, и их высота быстро уменьшается с удалением от центра.

Основные зависимости при дифракции света на щели

Для углов сначала выбирай условие минимума, а для ширины полосы на экране используй приближение малых углов и расстояние L. Проверь, что все величины подставлены в одних единицах. Формула ширины w ≈ 2Lλ/a применима, когда углы малы.

Разбор задач

Заметна ли дифракция на щели шириной 0,2 мм?

Длина волны света равна 600 нм, а ширина щели — 0,2 мм. Нужно сравнить эти размеры: видимая дифракция ожидается, когда они сопоставимы. Приведём величины к метрам и найдём отношение λ/a.

1. Переводим в метры: λ = 600 нм = 6·10⁻⁷ м, a = 0,2 мм = 2·10⁻⁴ м.
2. Находим отношение: λ/a = (6·10⁻⁷)/(2·10⁻⁴) = 3·10⁻³.
3. Так как ширина щели примерно в 330 раз больше длины волны, угол первого минимума мал: sinφ₁ = 0,003.

Ответ: дифракция физически возникает, но при таких размерах отклонение невелико и картина расширяется лишь слабо. Для отчётливо заметной дифракции щель должна быть существенно уже или длина волны больше.

Угол до первого минимума

Щель шириной 0,20 мм освещают светом с длиной волны 600 нм. Первый минимум соответствует m = 1, поэтому используем условие a·sinφ₁ = λ. Сначала проверим, что угол мал, чтобы при необходимости заменить синус углом в радианах.

1. Переводим величины: a = 2·10⁻⁴ м, λ = 6·10⁻⁷ м.
2. Для первого минимума sinφ₁ = λ/a = (6·10⁻⁷)/(2·10⁻⁴) = 0,003.
3. Угол мал, поэтому φ₁ ≈ 0,003 рад. В градусах это около 0,003·57,3° ≈ 0,17°.

Ответ: угол до первого минимума составляет примерно 0,003 рад, или 0,17°.

Ширина щели по ширине максимума

Экран находится на расстоянии L = 2 м, ширина центрального максимума w = 6 мм, длина волны λ = 500 нм. Требуется найти ширину щели. Центральный максимум ограничен первыми минимумами, поэтому при малых углах w ≈ 2Lλ/a; выразим из этой формулы a.

1. Переводим в метры: w = 6·10⁻³ м, λ = 5·10⁻⁷ м, L = 2 м.
2. Выражаем ширину щели: a ≈ 2Lλ/w.
3. Подставляем значения: a ≈ (2·2·5·10⁻⁷)/(6·10⁻³) м ≈ 3,3·10⁻⁴ м.
4. Переводим результат: 3,3·10⁻⁴ м = 0,33 мм.

Ответ: ширина щели примерно 0,33 мм. Полученное значение соответствует малому углу первого минимума, поэтому использованное приближение здесь подходит.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что дифракция возможна только при отражении света. Такое представление возникает из-за бытовых примеров с отражающими поверхностями, но волна дифрагирует и при прохождении через щель, и при распространении мимо препятствия. Проверь себя: если свет огибает край или заходит за границу геометрической тени, речь может идти о дифракции.

Ошибка: забывать о соотношении размеров. Иногда ожидают одинаково заметную картину за любой щелью, хотя при широкой щели отклонение мало. Сравни ширину щели с длиной волны: заметность растёт, когда эти величины одного порядка.

Ошибка: путать максимумы и минимумы. Условие a·sinφ = mλ, где m = 1, 2, 3…, задаёт минимумы на одной щели, а не максимумы. Путаница возникает потому, что обе полосы связаны с интерференцией; проверка проста: при условии минимумов вклады от частей щели взаимно ослабляются.

Ошибка: считать центральный максимум таким же узким, как боковые. Боковую полосу ограничивают два соседних минимума, а центральную — первые минимумы по разные стороны от центра. Поэтому центральный максимум примерно вдвое шире соседних; сравни положения минимумов m = −1 и m = 1.

Связь с другими темами

Для изучения дифракции нужны волновая природа света, понятие длины волны, принцип Гюйгенса и интерференция. Дифракция показывает границы геометрической оптики: модель прямолинейных лучей хорошо работает, когда размеры препятствий велики по сравнению с длиной волны. Позже эти идеи помогут понять работу дифракционной решётки, оценить разрешающую способность оптических приборов и разобраться в спектральном анализе.

Что запомнить

• Дифракция — волновое огибание препятствий и отклонение от прямолинейного распространения.
• Дифракция заметна, если размер препятствия сравним с длиной волны.
• Дифракционная картина возникает из-за интерференции вторичных волн.
• При уменьшении ширины щели дифракционная картина расширяется.
• При увеличении длины волны дифракционная картина расширяется.
• Для минимумов на одной щели выполняется a·sinφ = mλ.
• Центральный максимум самый яркий и широкий.