§ 20. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в контуре после начального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Например, достаточно заранее зарядить конденсатор и замкнуть цепь. Это понятие отличает собственные колебания системы от колебаний, которые поддерживает внешний источник.

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая конденсатор и катушку индуктивности. Конденсатор способен накапливать энергию электрического поля, а катушка — магнитного поля. Вместе эти элементы позволяют энергии переходить из одной формы в другую и создают условия для колебаний.

Период собственных колебаний — время одного полного цикла свободных колебаний в контуре; его обозначают T. За этот промежуток заряд и ток возвращаются к прежним значениям и направлениям. Период нужен, чтобы описывать длительность повторения процесса и находить частоту.

Частота собственных колебаний — число полных циклов за единицу времени; её обозначают греческой буквой ν. Частота показывает, сколько раз в секунду повторяется колебание, и измеряется в герцах. Она связана с периодом обратной зависимостью: ν = 1/T.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, разделяя заряды на его обкладках. Между обкладками возникает электрическое поле, и в нём запасается энергия Wэ = q²/(2C), где q — заряд, а C — ёмкость. Эта энергия служит начальным запасом, который запускает движение зарядов в цепи после замыкания контура.

Когда конденсатор соединяют с катушкой, заряды начинают двигаться по цепи, то есть возникает ток. По мере разрядки конденсатора его электрическое поле ослабевает, но ток в катушке не прекращается мгновенно. Изменяющийся ток создаёт меняющееся магнитное поле, а явление самоиндукции противодействует быстрому изменению тока и поддерживает его.

К моменту, когда конденсатор разрядился, ток достигает максимума, а энергия электрического поля становится минимальной. В катушке при этом максимально магнитное поле, энергия которого равна Wм = LI²/2; L — индуктивность, I — сила тока. Затем ток продолжает течь и перезаряжает конденсатор с противоположной полярностью, поэтому энергия возвращается в электрическое поле.

В идеальном контуре, где нет потерь, сумма энергий электрического и магнитного полей сохраняется. Из-за этого энергия периодически переходит от конденсатора к катушке и обратно, а вместе с ней меняются заряд и ток. В реальной цепи часть энергии рассеивается, поэтому колебания постепенно затухают, если потери не компенсировать.

Период зависит от того, насколько конденсатор способен накапливать заряд и насколько катушка препятствует изменению тока. Эта зависимость выражена формулой Томсона: T = 2π√(LC), где T измеряется в секундах, L — индуктивность в генри, C — ёмкость в фарадах. Чем больше L или C, тем больше период и тем медленнее идут колебания; частота при этом уменьшается.

Если начать отсчёт с полностью заряженного конденсатора, заряд меняется по закону q = qₘₐₓ cos(ωt), где qₘₐₓ — максимальный заряд, а ω = 2π/T — циклическая частота. Ток равен скорости изменения заряда: I = dq/dt = −ωqₘₐₓ sin(ωt). Поэтому при максимальном заряде ток равен нулю, а наибольшего значения по модулю достигает, когда заряд проходит через ноль: колебания сдвинуты по фазе.

Величины и характеристики свободных электромагнитных колебаний

Пользуйся таблицей, чтобы выбрать формулу по известным величинам и проверить единицы ответа. Для вычисления периода подставляй C в фарадах, а L — в генри. Если требуется частота, сначала найди период или используй обратную формулу.

Разбор задач

Найти период по ёмкости и индуктивности

Конденсатор ёмкостью 4 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,25 Гн. Найдите период собственных колебаний контура. Искомая величина — время одного полного колебания, поэтому применяем формулу Томсона. Перед подстановкой переводим ёмкость из микрофарад в фарады.

1. Записываем данные в СИ: C = 4 мкФ = 4·10⁻⁶ Ф, L = 0,25 Гн.
2. Подставляем: T = 2π√(LC) = 2π√(0,25·4·10⁻⁶) с.
3. Вычисляем произведение под корнем: LC = 10⁻⁶, поэтому √(LC) = 10⁻³.
4. Получаем T = 2π·10⁻³ с ≈ 6,3·10⁻³ с.

Период составляет примерно 6,3 мс. Проверка здравого смысла: микрофарадная ёмкость и доли генри дают период порядка тысячных долей секунды, а не секунд.

Найти ёмкость по периоду и индуктивности

В контуре с известной индуктивностью период собственных колебаний равен заданному значению. Нужно выразить ёмкость, а конкретные численные значения не заданы, поэтому ответ запишем через обозначения. Из формулы Томсона сначала убираем квадратный корень, а затем изолируем C. Так можно сразу подставить данные задачи, соблюдая единицы СИ.

1. Записываем исходную формулу: T = 2π√(LC).
2. Делим обе части на 2π и возводим в квадрат: T²/(4π²) = LC.
3. Делим обе части на L: C = T²/(4π²L).
4. Подставляем заданные T в секундах и L в генри; результат получается в фарадах.

Ёмкость находится по формуле C = T²/(4π²L). Проверим размерность: T²/L имеет единицу с²/Гн, которая эквивалентна фараду. При решении численной задачи особенно важно не оставлять период в миллисекундах.

Найти максимальную силу тока по максимальному заряду и периоду

Заряженный конденсатор включили в контур с катушкой; известны максимальный заряд qₘₐₓ и период T. Требуется найти максимальную силу тока. Заряд меняется как q = qₘₐₓ cos(ωt), а ток — как его производная, поэтому амплитуда тока равна ωqₘₐₓ. Максимум тока не совпадает с максимумом заряда: при максимальном заряде ток равен нулю.

1. Находим циклическую частоту: ω = 2π/T.
2. Дифференцируем заряд по времени: I = dq/dt = −ωqₘₐₓ sin(ωt).
3. Берём максимальное значение модуля тока, так как |sin(ωt)| может быть равен 1: Iₘₐₓ = ωqₘₐₓ.
4. Подставляем ω и получаем Iₘₐₓ = 2πqₘₐₓ/T.

Ответ: максимальная сила тока равна 2πqₘₐₓ/T. Заряд нужно выражать в кулонах, а период — в секундах, тогда результат будет в амперах. Знак минус в выражении для тока указывает направление изменения заряда, но не влияет на максимальное значение силы тока.

Типичные ошибки

Первая ошибка — думать, что колебания возможны только при постоянно подключённом внешнем источнике. Так происходит потому, что запуск процесса путают с его дальнейшим поддержанием: в свободных колебаниях достаточно начального запаса энергии. Проверь себя: после зарядки конденсатора источник можно убрать, а контур всё равно будет колебаться.

Вторая ошибка — путать период и частоту или считать, что для них используется одна и та же формула. Период задаёт формула Томсона, T = 2π√(LC), а частота обратна периоду: ν = 1/T. Чтобы проверить ответ, перемножь период и частоту: должно получиться 1.

Третья ошибка — подставлять ёмкость в микрофарадах или индуктивность в миллигенри без перевода в СИ. Такие единицы удобны в условии, но формула Томсона требует согласованных единиц: фарад и генри. Перед вычислением перепиши значения в Ф и Гн, а затем оцени порядок полученного периода.

Четвёртая ошибка — считать, что заряд и ток достигают максимумов одновременно. Заряд показывает состояние конденсатора, а ток — скорость изменения заряда; при максимальном заряде эта скорость равна нулю. Проверь себя по формулам q = qₘₐₓ cos(ωt) и I = −ωqₘₐₓ sin(ωt): максимумы разделены четвертью периода.

Связь с другими темами

Чтобы понять колебательный контур, нужно знать, как устроен конденсатор, что такое его ёмкость и энергия электрического поля, а также как индуктивность катушки связана с энергией магнитного поля. Переход энергии между полями опирается на закон сохранения энергии, а возникновение и изменение тока в катушке — на явление электромагнитной индукции. Далее эти идеи помогают объяснить вынужденные колебания, резонанс и электромагнитные волны.

Что запомнить

• Свободные электромагнитные колебания происходят в контуре после его начального возбуждения.
• Для возникновения колебаний необходимы конденсатор и катушка индуктивности.
• В идеальном контуре энергия попеременно переходит из электрического поля в магнитное и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой Томсона: T = 2π√(LC).
• Частота собственных колебаний равна ν = 1/T.
• Заряд конденсатора и сила тока изменяются периодически, но их максимумы не совпадают по времени.

Графики показывают периодические изменения заряда и тока и их фазовый сдвиг. По горизонтальной оси отложена фаза ωt, по вертикальной — величины, нормированные на их амплитуды.