§ 32. Потенциальная энергия

Определения и обозначения

Потенциальная энергия — энергия, связанная с взаимным расположением взаимодействующих тел или частей тела. Она зависит от положения, потому что при перемещении может измениться работа сил взаимодействия. Например, поднятая над землёй книга способна упасть и привести в движение другое тело. Это понятие помогает описывать запас энергии, даже когда тело в данный момент неподвижно.

Потенциальная энергия поднятого над Землёй тела — энергия, которая зависит от массы тела и его высоты над выбранным нулевым уровнем. Масса показывает, насколько тело инертно, а высота связана с тем, какой путь оно может пройти под действием силы тяжести. Поэтому для одинаковой высоты более тяжёлое тело имеет больший запас энергии. Это определение применяется, когда рассматривают тела у поверхности Земли.

Нулевой уровень потенциальной энергии — условно выбранное положение, относительно которого определяют высоту тела и значение его потенциальной энергии. Им может быть пол, поверхность стола или другая удобная точка. Выбор нужен потому, что высота всегда отсчитывается от чего-либо. При решении задачи следует указать уровень и использовать его последовательно.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, которой тело обладает из-за изменения своей формы, например при растяжении или сжатии. Деформацией называют изменение формы или размеров тела. Растянутая пружина может сжаться, а согнутая линейка — распрямиться и совершить работу. Такое определение показывает, что запас энергии может быть связан не только с высотой.

Как это устроено

Чтобы поднять тело, нужно приложить силу и совершить работу против силы тяжести. После подъёма тело оказывается в положении, из которого сила тяжести может опускать его, поэтому проделанная работа сохраняется как запас потенциальной энергии. Если отпустить тело, оно начнёт падать и ускоряться. При этом потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия движения увеличивается.

У поверхности Земли потенциальную энергию тяжести находят по формуле Eп = mgh. При неизменных g и h увеличение массы в несколько раз во столько же раз увеличивает энергию: более тяжёлое тело при падении может совершить большую работу. Если масса и g одинаковы, энергия прямо пропорциональна высоте. Значит, тело на высоте 6 м имеет вдвое большую потенциальную энергию, чем такое же тело на высоте 3 м относительно того же уровня.

Формула Eп = mgh подходит для тел у поверхности Земли, где ускорение свободного падения g можно считать постоянным. Здесь m измеряют в килограммах, h — в метрах, а g — примерно в 10 Н/кг; результат получают в джоулях. Высоту h отсчитывают от выбранного нулевого уровня, потому что именно относительно него определяют энергию. Если поменять уровень, изменятся значения высоты и энергии, но разность энергий между двумя положениями останется той же.

Деформация тоже может служить способом запасания энергии. Когда пружину растягивают, приходится совершать работу: приложенная сила изменяет её форму. После отпускания пружина стремится вернуться к исходному состоянию и может толкнуть предмет или привести его в движение. Похожим образом согнутая линейка при выпрямлении способна подбросить лёгкий предмет, поэтому деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии.

Потенциальная и кинетическая энергии различаются тем, с чем они связаны: первая — с положением или деформацией, вторая — с движением. Стоящее на полке тело может иметь потенциальную энергию, хотя оно не движется. При падении запас энергии положения превращается в энергию движения, а при подъёме движущегося тела часть кинетической энергии переходит в потенциальную. Так можно описывать превращения энергии при взаимодействии тел.

Виды потенциальной энергии и их особенности

Сначала определите, с чем связан запас энергии: с высотой или с деформацией. Для поднятого тела подставьте в формулу массу и высоту, измеренные относительно одного уровня; для деформированного тела оцените, какую работу оно может совершить при возвращении к исходной форме. Последняя строка таблицы помогает представить, во что запасённая энергия может превратиться.

Разбор задач

Задача 1. Книга массой 0,5 кг находится на полке на высоте 2 м над полом. Найдём её потенциальную энергию, приняв g = 10 Н/кг. Пол здесь выбран нулевым уровнем, поэтому высота книги равна 2 м. Поскольку известны все величины для формулы, достаточно подставить их и проверить единицы.

1. Запишем формулу: Eп = mgh.
2. Подставим значения: Eп = 0,5 кг · 10 Н/кг · 2 м = 10 Дж.
3. Проверим единицу: Н · м равен джоулю, значит ответ выражен верно.

Ответ: потенциальная энергия книги равна 10 Дж. Масса в формуле важна: при той же высоте более тяжёлая книга имела бы больший запас энергии. Высота отсчитана именно от пола, как указано в условии.

Задача 2. Два тела одинаковой массы подняты на разную высоту. Высота одного из них в три раза больше. Нужно сравнить потенциальные энергии, а не находить их численные значения: масса и значение g у тел одинаковы. Поэтому в отношениях энергий эти одинаковые множители сократятся.

1. Для тел запишем E₁ = mgh₁ и E₂ = mgh₂.
2. Разделим вторую энергию на первую: E₂/E₁ = (mgh₂)/(mgh₁) = h₂/h₁.
3. Так как h₂ = 3h₁, получаем E₂/E₁ = 3.

Ответ: потенциальная энергия тела, поднятого выше в три раза, тоже в три раза больше. Такой вывод справедлив при одинаковой массе и одном и том же нулевом уровне. Если бы отличались массы, одного сравнения высот было бы недостаточно.

Задача 3. Тело массой 2 кг опускают с высоты 5 м до высоты 1 м над полом. Требуется найти изменение потенциальной энергии, поэтому сравним начальное и конечное положения относительно одного уровня. При опускании высота уменьшается, следовательно, изменение энергии должно получиться отрицательным. Модуль изменения покажет, сколько энергии потеряло тело.

1. Начальная энергия: E₁ = 2 · 10 · 5 = 100 Дж.
2. Конечная энергия: E₂ = 2 · 10 · 1 = 20 Дж.
3. Изменение: ΔEп = E₂ − E₁ = 20 − 100 = −80 Дж.

Ответ: потенциальная энергия уменьшилась на 80 Дж. Знак минус показывает уменьшение, а не отрицательный запас энергии в конечном положении. При этом 80 Дж могут перейти в другие виды энергии, например в кинетическую.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что потенциальная энергия определяется только высотой. Так думают, потому что высота явно стоит в формуле Eп = mgh, но масса тоже является множителем. Проверьте себя: сравните тела на одинаковой высоте, но разной массы. У более тяжёлого тела энергия больше.

Вторая ошибка — подставлять высоту, не указав, откуда её отсчитывают, или сравнивать энергии относительно разных уровней. Высота не задаётся сама по себе: она измеряется относительно выбранной точки. Перед вычислением запишите, что принято за нулевой уровень. Если сравниваете положения, используйте один и тот же уровень для обоих.

Третья ошибка — путать потенциальную энергию с кинетической и считать, что неподвижное тело не может иметь энергии. Кинетическая энергия связана с движением, а потенциальная — с положением или деформацией. Поэтому неподвижная книга на полке может иметь потенциальную энергию. Проверьте себя вопросом: движется ли тело или энергия связана с его расположением либо формой?

Четвёртая ошибка — думать, что потенциальная энергия бывает только у поднятых тел. В формуле Eп = mgh рассматривается энергия тяжести, но деформированная пружина тоже может запасать энергию. Причина заблуждения — смешение одного вида потенциальной энергии со всеми её видами. Проверьте примером: растянутая неподвижная пружина способна сжаться и совершить работу.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия механической работы и силы тяжести: подъём тела требует работы против силы тяжести. Также понадобятся масса, высота и единица энергии — джоуль. Потенциальную энергию удобно сопоставлять с кинетической, связанной с движением. Такое сравнение пригодится при изучении превращения и сохранения механической энергии: один вид энергии может переходить в другой.

Что запомнить

• Потенциальная энергия связана с взаимным расположением тел или деформацией тела.
• Для тела у поверхности Земли Eп = mgh.
• Высоту в формуле отсчитывают от выбранного нулевого уровня.
• При одинаковых m и g потенциальная энергия тем больше, чем больше высота.
• Упруго деформированное тело может запасать потенциальную энергию.
• Потенциальная энергия может переходить в кинетическую и обратно.