"Физика", Изергин Э.Т.
Закон всемирного тяготения описывает притяжение между любыми телами — от планет до обычных предметов. Он помогает объяснить движение небесных тел, падение предметов и возникновение силы тяжести. Сила зависит от масс обоих тел и расстояния между их центрами: чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела друг от друга, тем оно слабее. Для расчётов используют формулу F = Gm₁m₂/r², где G — гравитационная постоянная.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Закон всемирного тяготения — правило, по которому тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между центрами. Он позволяет вычислить силу притяжения, если известны массы тел и расстояние между ними.
Сила всемирного тяготения — сила взаимного притяжения любых тел, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Она действует на каждое из двух тел: силы равны по величине и противоположны по направлению, поэтому нельзя считать, что притягивается только одно тело.
Гравитационная постоянная — физическая константа G, одинаковая для всех тел и равная приблизительно 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её значение показывает, насколько слабым оказывается притяжение между телами обычных масс; без неё формула не давала бы численного значения силы.
Центр тела — точка, относительно которой в расчёте определяют расстояние между притягивающимися телами. Для небольших тел и однородных шаров это позволяет использовать одну величину r вместо расчёта расстояний между всеми точками тел.
Гравитация — взаимодействие, которое проявляется в притяжении любых тел и не требует соприкосновения: Земля притягивает Луну, хотя между ними нет опоры или нити. В отличие от электрического взаимодействия, гравитационное притяжение возникает у тел с массой и не бывает отталкиванием. Между обычными предметами оно тоже есть, но обычно слишком мало, чтобы его заметить.
Учёные наблюдали, как планеты движутся вокруг Солнца, и искали правило, которое объяснит их пути. Сопоставление движения планет с расстояниями до Солнца показало: притяжение зависит от расстояния и масс обоих тел. Так появилась формула, которая связывает наблюдаемое движение небесных тел с действующей между ними силой.
Произведение масс m₁m₂ в формуле означает, что сила зависит от обеих масс одновременно. Если увеличить массу одного тела в несколько раз, сила возрастёт во столько же раз; если так же изменить другую массу, результат будет таким же. При увеличении обеих масс силу нужно умножить на оба множителя, потому что каждый из них действует независимо.
Расстояние r находится в знаменателе и возводится в квадрат, поэтому с удалением тел сила быстро уменьшается. Если расстояние увеличить, например, в три раза, знаменатель станет в девять раз больше, а сила — в девять раз меньше. Именно поэтому далёкие небесные тела притягиваются слабее, чем такие же тела поблизости.
Формулу F = Gm₁m₂/r² используют для материальных точек, то есть тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Её также можно применять к однородным шарам: в расчёте каждый шар представляют так, словно его масса сосредоточена в центре. Для тел сложной формы нельзя без проверки подставлять расстояние между ближайшими поверхностями.
| Величина | Обозначение | Единица СИ | Роль в формуле |
|---|---|---|---|
| Сила всемирного тяготения | F | Н | Искомая сила |
| Масса первого тела | m₁ | кг | Первый множитель в числителе |
| Масса второго тела | m₂ | кг | Второй множитель в числителе |
| Расстояние между центрами тел | r | м | Возводится в квадрат в знаменателе |
| Гравитационная постоянная | G | Н·м²/кг² | Коэффициент в формуле, G ≈ 6,67·10⁻¹¹ |
| Зависимость силы от массы | F ∝ m₁m₂ | — | Прямо пропорциональна каждой массе |
| Зависимость силы от расстояния | F ∝ 1/r² | — | Обратно пропорциональна квадрату r |
Чтобы найти силу, подставьте в формулу массы в килограммах, расстояние в метрах и значение G. Строки о зависимостях помогают быстро пересчитать силу, если в задаче изменили массу или расстояние. Знак ∝ означает «пропорционально».
Два тела массами 10 кг и 20 кг находятся на расстоянии 2 м друг от друга. Определите силу их взаимного притяжения, считая тела материальными точками. Поскольку тела можно считать материальными точками, в формулу подставляем расстояние между ними, заданное в условии.
Ответ: сила притяжения равна 3,335·10⁻⁹ Н.
Во сколько раз изменится сила тяготения, если массу одного тела увеличить в 3 раза, а расстояние между телами увеличить в 2 раза? Масса второго тела и значение G не меняются. Поэтому достаточно сравнить новые множители в формуле с исходной силой.
Ответ: сила уменьшится в 4/3 раза, то есть станет равна 3/4 первоначальной.
Определите массу тела, если на расстоянии 5 м от тела массой 100 кг оно притягивается с силой 2,668·10⁻⁸ Н. Дано G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Неизвестная масса стоит в числителе, поэтому выразим её из формулы, а затем проверим единицы.
Ответ: масса тела равна 100 кг.
Некоторые подставляют расстояние между ближайшими поверхностями тел, потому что именно его проще измерить. Но в законе r — расстояние между центрами, поэтому при такой подстановке результат будет неправильным. Проверьте условие и, если известны размеры тел, найдите расстояние между центрами с их учётом.
Если забыть возвести расстояние в квадрат, сила будет вычислена по другой зависимости. Ошибка часто возникает потому, что квадрат обозначен маленькой цифрой у r, и её легко пропустить. Перед вычислением отдельно запишите r² и проверьте, что именно оно стоит в знаменателе.
Силу тяготения иногда путают с массой или весом тела, поскольку все эти понятия встречаются в задачах о притяжении Земли. Однако в формуле тяготения сила зависит от двух масс и расстояния между их центрами, а масса измеряется в килограммах. Проверьте себя по обозначениям и единицам: результат для F должен быть выражен в ньютонах.
Неверный перевод единиц особенно сильно искажает ответ, поскольку gравитационная постоянная очень мала, а расстояние ещё и возводится в квадрат. Например, сантиметры и граммы нельзя без перевода подставлять вместо метров и килограммов. Перед вычислением запишите все величины в СИ и оцените, разумен ли порядок полученного числа.
Для работы с законом нужны понятия массы и силы, единицы СИ, умение сравнивать пропорциональные величины и преобразовывать формулы. Этот закон объясняет движение планет и спутников, падение тел и появление силы тяжести у поверхности Земли. Позже с его помощью разбирают ускорение свободного падения, вес, орбитальное движение и задачи космонавтики.
Почему мы не замечаем притяжение между обычными предметами?
Массы обычных предметов невелики, поэтому сила их взаимного притяжения очень мала. Её трудно заметить на фоне трения, опоры и других сил, действующих вокруг.
Почему в формуле расстояние возводится именно в квадрат?
Такую зависимость установили, сопоставляя закон притяжения с наблюдениями за движением планет. Поэтому при увеличении расстояния в n раз сила уменьшается в n² раз.
Какое расстояние нужно брать между двумя телами?
Берут расстояние между центрами тел, а не между их ближайшими поверхностями. Для тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, это расстояние можно измерить между выбранными точками, представляющими центры масс.
Чем сила всемирного тяготения отличается от силы тяжести?
Сила всемирного тяготения — взаимное притяжение любых тел, а сила тяжести — притяжение тела Землёй. У поверхности Земли сила тяжести является частным случаем гравитационного притяжения.
Можно ли применять закон всемирного тяготения к телам сложной формы?
Для тел сложной формы простая формула с одним расстоянием обычно неприменима напрямую: разные части тел находятся на разных расстояниях. Формулу используют для малых тел или однородных шаров, а для сложных тел их притяжение рассчитывают, учитывая взаимодействие частей.
§ 38. Закон всемирного тяготения
