"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объём, температуру и количество вещества в одной формуле: pV = νRT. Оно помогает находить неизвестный параметр газа, если остальные известны, и описывать переход газа из одного состояния в другое. Для расчётов температуру обязательно переводят в кельвины, а количество вещества можно выразить через массу и молярную массу. Из общего уравнения также следуют газовые законы для постоянных температуры или объёма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Это упрощение позволяет описывать газ с помощью нескольких величин, не учитывая движение каждой молекулы отдельно. Модель хорошо работает для достаточно разреженных газов.
Уравнение состояния идеального газа — связь между давлением p, объёмом V, температурой T и количеством вещества ν. Оно нужно, чтобы по известным параметрам определить неизвестный или сравнить два состояния газа. Давление измеряют в паскалях, объём — в кубических метрах, а температуру — в кельвинах.
Универсальная газовая постоянная — константа R, одинаковая для всех идеальных газов и связывающая их макроскопические параметры. Её значение приблизительно равно 8,31 Дж/(моль·К). Благодаря одной и той же R формула подходит для любого газа, если известны количество вещества и температура.
Уравнение Клапейрона—Менделеева — основная запись уравнения состояния: pV = νRT. Здесь ν показывает количество вещества в молях. По этой формуле можно найти, например, давление газа, если заданы его объём, температура и количество вещества.
Для равновесного состояния газа достаточно знать давление, объём, температуру и количество вещества: эти величины описывают его макроскопически, не перечисляя отдельные молекулы. Давление показывает действие газа на стенки, объём задаёт занимаемое пространство, а температура характеризует тепловое состояние. Количество вещества учитывает, сколько частиц участвует в этом состоянии. Уравнение связывает параметры, поэтому изменение одного из них требует согласованного изменения других.
Если в уравнении pV = νRT количество вещества не меняется, то ν и R постоянны. Деление обеих частей на T даёт pV/T = νR, а значит, отношение pV/T остаётся постоянным при переходе газа между состояниями. Это удобно, когда неизвестно конкретное количество газа, но сравниваются начальные и конечные параметры одной и той же порции. Если количество вещества изменилось, такое сокращение применять нельзя.
Температура в формуле должна быть абсолютной, потому что пропорциональности в газовых законах отсчитываются от абсолютного нуля. Шкала Цельсия имеет произвольное начало, поэтому одинаковые отношения градусов Цельсия не означают одинаковых отношений тепловых состояний. Для перевода используют T = t + 273, где t — температура в градусах Цельсия, а T — в кельвинах. Например, 27 °C соответствуют примерно 300 К.
Количество вещества можно выразить через массу: ν = m/M, где m — масса газа, а M — его молярная масса. Подстановка этой связи в основную формулу даёт pV = mRT/M. Такая запись полезна, когда в условии даны граммы или килограммы газа, а количество вещества не указано. Массу и молярную массу нужно брать в согласованных единицах, чтобы их отношение выражало количество молей.
Молекулярно-кинетическая теория связывает давление с концентрацией частиц: p = nkT, где n = N/V, N — число молекул, а k — постоянная Больцмана. Умножив эту формулу на объём, получаем pV = NkT. Поскольку ν = N/Nₐ и R = Nₐk, выражение NkT превращается в νRT. Значит, макроскопическая формула согласуется с описанием газа через число молекул.
| Ситуация или форма | Уравнение | Что остаётся постоянным | Когда применять |
|---|---|---|---|
| Основная форма для количества вещества ν | pV = νRT | Заданы ν и T либо их можно найти | Для одного состояния газа |
| Форма через массу m и молярную массу M | pV = mRT/M | Масса газа m | Когда дана масса, а не количество вещества |
| Переход газа из одного состояния в другое | p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ | Количество вещества ν | Для одной порции газа до и после изменения |
| Изохорный процесс | p/T = const | Объём V | Когда газ не меняет объём |
| Изобарный процесс | V/T = const | Давление p | Когда давление постоянно |
| Изотермический процесс | pV = const | Температура T | Когда температура не меняется |
| Связь с концентрацией молекул | p = nkT | Учитывается концентрация n | Когда известны параметры частиц газа |
Сначала определи, описываешь ли ты одно состояние или переход одной и той же порции газа. Затем найди постоянную величину: например, неизменный объём позволяет сократить его в общей формуле. Для любого расчёта проверь, что температура задана в кельвинах, а единицы остальных величин согласованы.
Дано: ν = 2 моль, T = 300 К, V = 0,05 м³. Требуется найти давление идеального газа. Поскольку заданы количество вещества, температура и объём одного состояния, удобно использовать pV = νRT. Выразим давление, подставим числа и проверим, что ответ получится в паскалях.
Ответ: давление газа приблизительно равно 100 кПа. Проверка размерности даёт паскали, поскольку джоуль равен паскалю, умноженному на кубический метр. Значит, единицы в расчёте согласованы.
В баллоне объёмом 10 л находится 32 г кислорода при 27 °C. Требуется определить давление. Сначала переведём объём в кубические метры и температуру в кельвины, затем найдём количество вещества через молярную массу кислорода. Для O₂ молярная масса M = 32 г/моль, поэтому данные дают ровно один моль газа.
Ответ: p ≈ 2,5 · 10⁵ Па, или примерно 249 кПа. Полученное давление больше атмосферного, что правдоподобно для газа в баллоне. Перевод литров в кубические метры здесь обязателен, поскольку R задана в единицах СИ.
Газ при p₁ = 100 кПа и T₁ = 300 К занимает V₁ = 4 л. После изменения состояния его объём стал V₂ = 6 л, а температура T₂ = 450 К. Нужно найти конечное давление p₂. Количество газа не меняется, поэтому применим уравнение для двух состояний одной порции.
Ответ: конечное давление равно 100 кПа. Объём вырос в полтора раза, и абсолютная температура тоже выросла в полтора раза. Эти изменения взаимно компенсировались, поэтому давление осталось прежним.
Подстановка градусов Цельсия вместо кельвинов. Так делают, если забывают, что уравнение использует абсолютную температуру, или механически переносят число из условия. При этом расчёт может дать неверное значение даже при правильной формуле. Перед подстановкой проверь, что использовано T = t + 273 и что температура положительна в кельвинах.
Неверное определение количества вещества. Иногда массу делят не на молярную массу или смешивают граммы с килограммами. Ошибка возникает, когда не записаны единицы m и M. Проверь, что ν = m/M, а числитель и знаменатель выражены в согласованных единицах, например г и г/моль.
Несогласованные единицы объёма и давления. Например, литры могут подставить рядом с R в СИ, не переводя их в кубические метры. Причина обычно в спешке или в том, что литр воспринимают как единицу, уже подходящую для любой формы формулы. Проверь единицы константы: при R в Дж/(моль·К) используй паскали и м³.
Применение формулы двух состояний к разным порциям газа. Соотношение p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ требует неизменного количества вещества. Его ошибочно используют, когда часть газа вышла из сосуда или добавлена новая порция. Перед применением сравни количество газа в обоих состояниях: если оно меняется, нужно учитывать ν отдельно.
Для работы с уравнением нужны понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы, а также умение переводить температуру в кельвины. Микроскопическое основание формулы даёт основное уравнение молекулярно-кинетической теории p = nkT: оно связывает давление с концентрацией молекул. Из уравнения состояния выводят газовые законы и описывают термодинамические процессы. Эти знания применяют при изучении работы газа и принципов действия тепловых машин.
Почему в уравнении состояния нельзя использовать температуру в градусах Цельсия?
Уравнение связано с абсолютной температурой, отсчёт которой начинается от абсолютного нуля. В шкале Цельсия ноль выбран условно, поэтому подстановка градусов Цельсия нарушает пропорциональности в формуле. Перед расчётом переведи температуру: T = t + 273.
Чем уравнение состояния отличается от закона Бойля—Мариотта?
Уравнение состояния pV = νRT связывает сразу давление, объём, температуру и количество газа. Закон Бойля—Мариотта — частный случай для неизменного количества газа при постоянной температуре: pV = const. Он описывает только изотермическое изменение состояния.
Как понять, какую форму уравнения использовать в задаче?
Сначала выпиши известные и искомые величины, переведи их в согласованные единицы и выясни, меняется ли количество газа. Для одного состояния используй pV = νRT или pV = mRT/M, а для двух состояний одной порции газа — p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Если один параметр постоянен, можно применить соответствующий частный газовый закон.
Можно ли применять уравнение идеального газа к реальному газу?
Можно приближённо, когда газ достаточно разрежен и его молекулы далеко друг от друга. При высоком давлении или низкой температуре взаимодействием молекул и их собственным объёмом уже нельзя пренебречь. Тогда уравнение идеального газа может давать заметную погрешность.
Что изменится в уравнении, если масса газа не задана, а известно число молекул?
Количество вещества выражают через число частиц: ν = N/Nₐ, где Nₐ — постоянная Авогадро. Подставив это в pV = νRT и используя R = Nₐk, получаем pV = NkT. Если разделить обе части на объём, выйдет микроскопическая форма p = nkT, где n = N/V — концентрация молекул.
§ 3.9. Уравнение состояния идеального газа
