§ 41. Закон Кулона

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электрическом взаимодействии; его обозначают q и измеряют в кулонах (Кл). Заряды бывают положительными и отрицательными, а значение заряда показывает, насколько сильно тело участвует во взаимодействии. Эта величина нужна, чтобы сравнивать заряды и рассчитывать действующую между ними силу.

Точечный заряд — заряженное тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел. Например, небольшое заряженное тело на большом удалении можно приближённо считать точкой. Такое упрощение позволяет применять закон Кулона без учёта формы и размеров тела.

Закон Кулона — закон, определяющий модуль силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов. Модуль — это величина силы без указания направления. Закон нужен, чтобы находить силу по значениям зарядов и расстоянию между ними.

Диэлектрическая проницаемость среды — величина ε, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в среде меньше, чем в вакууме. У каждой среды своё значение этой величины. Она позволяет учитывать влияние вещества между заряженными телами при расчётах.

Как это устроено

Заряженные тела действуют друг на друга электрическими силами. Если заряды имеют одинаковые знаки, тела отталкиваются, а если разные — притягиваются: это связано с тем, как заряды взаимодействуют между собой. Поэтому для полного описания взаимодействия нужно знать не только величины зарядов, но и их знаки.

Сила действует вдоль прямой, соединяющей два заряда: при точечном приближении именно это направление задаёт взаимное расположение тел. На каждый заряд действует своя сила. По модулю эти силы равны, а направлены в противоположные стороны, потому что тела взаимодействуют попарно.

Чем больше модуль одного из зарядов, тем сильнее его электрическое взаимодействие с другим зарядом. Если увеличить один заряд в несколько раз, сила увеличится во столько же раз; аналогично действует изменение второго заряда. Поэтому модуль силы пропорционален произведению модулей зарядов: F ∝ |q₁q₂|.

Расстояние влияет на силу иначе: она уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния, F ∝ 1/r². Это значит, что при увеличении расстояния в два раза сила становится в четыре раза меньше, а при уменьшении в два раза — в четыре раза больше. Зависимость от произведения зарядов и от квадрата расстояния объединяются в одну формулу.

В вакууме модуль силы рассчитывают по формуле F = k|q₁q₂|/r², где k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² — постоянная для вакуума. В однородной среде взаимодействие ослабляется, поэтому результат делят на диэлектрическую проницаемость ε: F = k|q₁q₂|/(εr²). При ε = 4 сила в этой среде в четыре раза меньше, чем в вакууме для тех же зарядов и расстояния.

Величины и зависимости в законе Кулона

Сначала проверьте, в каких единицах даны заряды и расстояние: для расчёта нужны кулоны и метры. Затем выберите формулу для вакуума или среды и подставьте модули зарядов. Направление взаимодействия определяйте отдельно по знакам зарядов.

Разбор задач

Найдём силу между зарядами в вакууме

Два точечных заряда 2 мкКл и 3 мкКл находятся в вакууме на расстоянии 0,3 м. Нужно найти модуль силы их взаимодействия. Перед подстановкой микрокулоны необходимо перевести в кулоны, поскольку кулон — единица заряда в законе Кулона.

1. Запишем данные в СИ: q₁ = 2·10⁻⁶ Кл, q₂ = 3·10⁻⁶ Кл, r = 0,3 м.
2. Выберем формулу для вакуума: F = k|q₁q₂|/r², где k = 9·10⁹ Н·м²/Кл².
3. Подставим числа: F = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 3·10⁻⁶ / 0,3² = 0,6 Н.

Получили модуль силы, то есть её величину; знак зарядов в условии не указан, поэтому определить притяжение или отталкивание нельзя. Ответ: 0,6 Н.

Найдём расстояние между зарядами

Заряды 4 мкКл и 1 мкКл в вакууме взаимодействуют с силой 0,36 Н. Требуется найти расстояние между ними. Поскольку неизвестно расстояние, сначала преобразуем закон Кулона, выразив из него r.

1. Переведём заряды: q₁ = 4·10⁻⁶ Кл, q₂ = 1·10⁻⁶ Кл. Запишем F = 0,36 Н и k = 9·10⁹ Н·м²/Кл².
2. Из F = k|q₁q₂|/r² получаем r² = k|q₁q₂|/F, поэтому r = √(k|q₁q₂|/F).
3. Подставим значения: r = √(9·10⁹ · 4·10⁻⁶ · 1·10⁻⁶ / 0,36) = √0,1 ≈ 0,316 м.

Расстояние берём положительным, поэтому выбираем положительный квадратный корень. Ответ: примерно 0,32 м.

Учтём диэлектрическую проницаемость среды

Заряды 2 мкКл и 5 мкКл находятся в среде с ε = 4 на расстоянии 0,3 м. Нужно найти модуль силы, а затем выяснить, что изменится при замене одного заряда на противоположный по знаку заряд той же величины. Используем формулу для среды: она учитывает ослабление взаимодействия веществом.

1. Переведём заряды: q₁ = 2·10⁻⁶ Кл, q₂ = 5·10⁻⁶ Кл; расстояние r = 0,3 м.
2. Подставим данные: F = 9·10⁹ · 2·10⁻⁶ · 5·10⁻⁶ /(4 · 0,3²) = 0,25 Н.
3. Замена знака одного заряда не меняет его модуль, а значит, не меняет и вычисленную величину силы. Но взаимодействие изменится: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.

Ответ: модуль силы равен 0,25 Н; при смене знака одного заряда притяжение сменится отталкиванием или наоборот.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять заряд в микрокулонах как обычное число, не переводя его в кулоны. Так делают, потому что приставка «микро» кажется несущественной, но она означает множитель 10⁻⁶ и сильно меняет результат. Запишите перевод единиц отдельной строкой и проверьте, что заряд выражен в Кл.

Вторая ошибка — забывать квадрат расстояния или считать, что при его удвоении сила уменьшается вдвое. Квадрат появляется в знаменателе формулы, поэтому при удвоении r сила уменьшается в четыре раза. Проверьте себя, подставив вместо r значение 2r: в знаменателе получится (2r)² = 4r².

Третья ошибка — смешивать модуль силы с её направлением. В формуле стоят модули зарядов, поэтому отрицательный знак нельзя использовать для получения отрицательной силы; притяжение или отталкивание определяют отдельно по знакам зарядов. Проверьте, что ответ о величине силы положительный, а направление указано словами.

Четвёртая ошибка — применять формулу для вакуума, когда заряды находятся в среде. Это происходит, если забыть, что вещество ослабляет взаимодействие. Уточните условие задачи и при наличии среды разделите результат для вакуума на ε; сила в среде не должна оказаться больше вакуумной при ε > 1.

Связь с другими темами

Для понимания закона Кулона нужно знать, что электрические заряды бывают положительными и отрицательными. Также важно уметь переводить величины в единицы СИ: микрокулоны — в кулоны, а расстояние — в метры. Без этого вычисления по формуле могут дать неверный результат, даже если сама формула выбрана правильно.

Закон Кулона помогает рассчитывать взаимодействие заряженных частиц и становится основой для дальнейшего изучения электрического поля. В задачах о поле рассматривают, как заряд влияет на окружающее пространство и на другие заряды. Поэтому закон связывает описание взаимодействия отдельных зарядов с более широкой темой электрических явлений.

Что запомнить

• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.
• Модуль силы пропорционален произведению модулей зарядов.
• Модуль силы обратно пропорционален квадрату расстояния.
• В вакууме F = k|q₁q₂|/r².
• В среде сила взаимодействия меньше в ε раз.